级数

常数项级数

定义

定义
部分和、收敛和、余项

注意

判断敛散性可以观察部分和

把部分和的式子写出来，令

或者：有（调和级数）
部分和数列，部分和数列和级数可以相互推导

性质

和具有相同敛散性
级数敛散具有可加性。收敛相加也收敛，收敛加发散必发散，但发散相加不一定发散。
级数收敛，子级数也收敛。反过来不一定成立。
级数增加、削减、改变有限项，敛散性不变。
收敛性质的必要性：若收敛，则，反之不一定成立。

交错级数

定义

交错级数的审敛法

莱布尼兹定理。

如果级数单减，且当，有，则交错级数收敛
绝对收敛和条件收敛

若收敛，则称绝对收敛

若发散，而收敛，则称为条件收敛

正项级数

定义

审敛法

若则发散
一般形式
1. 比较审敛法：若和都是正项级数，且，则若后者收敛则前者收敛，前者发散则后者发散。
2. 若，且，则和具有相同的敛散性
  
  多用在分式中
比值审敛法

考察
1. 若，则收敛
2. ，发散
3. ，无法判断
根式审敛法

幂级数及其收敛域

定义

收敛域

考察，收敛中心是，收敛半径是，则该级数在上收敛，而在端点处要自行判断。

所有收敛点的集合称为收敛域。

幂级数的求和

幂级数的运算

设有两个级数，那么的收敛域不变，和函数变为倍。

的收敛域应该是两个收敛域的交集，和函数直接相加。

逐项求导：（收敛半径不变）
$\begin{array}{l} \sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n x^{n}\right)^{\prime}=\left(a_{0}\right)^{\prime}+\left(a_{1} x\right)^{\prime}+\left(a_{2} x^{2}\right) \quad+\ldots+\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}+\cdots\\ =a_{1}+2 a_{2} x+\dots+n a_{n} x^{n-1}+\cdots\\ =\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} \end{array}$
逐项积分：（收敛半径不变）

幂级数求和

对于，通过逐项求导或积分，使其变成，从而求和为。

然后再求导或者积分回去。

函数展开成幂级数

定义

泰勒级数

如何展开称泰勒级数或者麦克劳林级数

直接法：套公式
间接法：用已有的泰勒展开来变换

傅里叶级数

定义

设，，则有傅里叶级数

其中

狄利克雷条件：

是以为周期的函数，满足

在一个周期内连续或者有有限多个间断点
在一个周期内有有限多个极值点

则的傅里叶级数收敛，并且

级数