考研数学:有理函数积分题,考生都说难,掌握这5种技巧快速解题

从理论上讲,一切有理函数的不定积分都可用分解部分分式的方法求出,但由于此法计算太繁,工作量大,常采用其他一些方法。这些方法要比部分分式法简便,下面介绍四种此类方法。


一、凑部分分式法

凑的方法与技巧,常用的有下述几种。

( I )被积函数的分母(下简称分母)为不同因式的乘积,试将分子或其一因式写成这些不同因式的组合,再分项积分。


(Ⅱ)分母两因子中x的次数不同,可试将分子凑成这样两项的组合:一项是x次数较高的因式,另一项以x次数较低的因式为因子。


(Ⅲ)分母仅含一个因式或仅是一个因式的方幂,为将其分子凑成该因式的组合,常在分子中加减相同项(通常为常数1),进行恒等变形,再分项降幂积分。

(Ⅳ )被积函数的分母为(或可化为)两个次数不同的x的因式x^k与x^l+a,其中k,l为正整数,且k

有多种求法。常在分子、分母上同乘因子x^(l-k),将乘积项拆成两项之差。



二、分部积分法

常用去分母的分部积分法求之。


三、凑微分法

对形如

的有理函数的不定积分,常用凑微分法求之。为此先将被积式凑成两项的代数和,其中一项的分子为其分母的微分。




四、变量代换法


注意:凡用第二类换元法(三角代换法)求积分时,在代回x的函数时,均可采用上述辅助直角三角形法。

五、部分分式法

有理分式的积分,如不能用上述方法简化计算,当然可用部分分式法将被积函数拆为部分分式,不过计算过程较烦,务必细心,以免出错。确定部分分式中的待定系数,除可用将x的特定值代人的方法外,还可采用在等式两边同乘适当因子后令x趋于某些值而逐个求出的方法,当然也可比较等式两端同次幂系数,用解方程组的方法求出。


注意:由本节诸例结果易看出,有理函数的原函数总是初等函数,且积分结果只能含有理函数,对数函数或反正切函数。如出现其他类型函数,则计算有误。

作者水平有限,读者思维无限,如有细节错误请见谅,若有好的想法,欢迎评论区留言!谢谢!

你可能感兴趣的:(考研数学:有理函数积分题,考生都说难,掌握这5种技巧快速解题)