EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算

文章目录

    • abstract
      • 分段函数的一般表示
    • 分段函数复合的基本问题
      • 分析
      • 算法
    • 函数的初等运算构成的函数
      • 复合函数的定义域
      • 函数的运算

abstract

  • 复合函数和分段函数的表示和应用

  • 复合函数中我们讨论过函数 g , f g,f g,f复合为 f ∘ g f\circ{g} fg的条件是 R g ∩ D f = ∅ R_{g}\cap{D_f}=\emptyset RgDf=,并且 f ∘ g f\circ{g} fg的定义域为 {   x ∣ g ( x ) ∈ D f   } \set{x|g(x)\in{D_{f}}} {xg(x)Df}

  • 函数间的初等运算

分段函数的一般表示

  • f f f n n n段分段函数,第 i i i段的解析式记为 f i f_i fi,定义域记为 D i D_i Di则分段函数可以看作 n n n个函数拼接成一个函数:可记为 f = f i ( x ) , x ∈ D f i f=f_{i}(x),x\in{D_{f_i}} f=fi(x),xDfi, ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,,n)

分段函数复合的基本问题

  • f = f i ( x ) , x ∈ D f i f=f_{i}(x),x\in{D_{f_i}} f=fi(x),xDfi, ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,,n); g = g i ( x ) , x ∈ D g i g=g_{i}(x),x\in{D_{g_i}} g=gi(x),xDgi, ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) (i=1,2,\cdots,m) (i=1,2,,m),求 h = f ∘ g h=f\circ{g} h=fg?

分析

  • 上述问题显然需要分段讨论
  • 为了使得问题表达的更加清晰和便于讨论,我们引入中间变量 u u u代替字母 x x x来改写函数,即
    • f = f i ( u ) , x ∈ D f i f=f_i(u),x\in{D_{f_i}} f=fi(u),xDfi; u = u j ( x ) , x ∈ D u j u=u_{j}(x),x\in{D_{u_j}} u=uj(x),xDuj
    • 其实改为 f = f i ( g ) , x ∈ D f i f=f_i(g),x\in{D_{f_i}} f=fi(g),xDfi; g = g i ( x ) , x ∈ D u i g=g_{i}(x),x\in{D_{u_i}} g=gi(x),xDui也可以
  • 基本思想是通过 D f D_f Df筛选出满足 D f ∩ R u = ∅ D_{f}\cap R_{u}=\emptyset DfRu=的定义域 D h D_{h} Dh,其中包含了分段(函数)不等式问题这个过程中自然得到 f ∘ g f\circ{g} fg的结果

算法

  • 根据范围 D f i D_{f_i} Dfi求出解集 D i = {   x ∣ u ( x ) ∈ D f i   } D_i=\set{x|u(x)\in{D_{f_i}}} Di={xu(x)Dfi}, i = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,,n(分段不等式问题)
    • D i ≠ ∅ D_i\neq{\emptyset} Di=,且 D h i k = D i ∩ D u j k ≠ ∅ , k = 1 , 2 , ⋯ D_{h_{ik}}=D_i\cap D_{u_{j_k}}\neq{\empty},k=1,2,\cdots Dhik=DiDujk=,k=1,2,,则 f ∘ u = f ( u ( x ) ) f\circ{u}=f(u(x)) fu=f(u(x)) D i D_i Di区间内可以复合为 f i ( u j k ( x ) ) f_{i}(u_{j_k}(x)) fi(ujk(x)), x ∈ D h i k x\in{D_{h_{ik}}} xDhik, i = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,,n
    • 或者更直接地 D h i j = {   x ∣ x ∈ D f i ∩ x ∈ D u j   } D_{h_{ij}}=\set{x|x\in{D_{f_i}}\cap{x\in{D_{u_{j}}}}} Dhij={xxDfixDuj},若 D h i j ≠ ∅ D_{h_{ij}}\neq{\emptyset} Dhij=,则 h ( x ) = f ∘ g ( x ) h(x)=f\circ{g}(x) h(x)=fg(x)= f i ( u j ( x ) ) f_{i}(u_{j}(x)) fi(uj(x)), x ∈ D h i j x\in D_{h_{ij}} xDhij,这个过程会产生 m × n m\times{n} m×n个不等式(其中可能包含解集为空集的不等式,这种情况应舍去,属于无法复合的区间)
  • 分段不等式问题中,我们可以借助数形结合的方式,绘制 u ( x ) u(x) u(x)的图像草图,在根据 D f i D_{f_i} Dfi得出自变量 x x x的取值范围 D h i k D_{h_{ik}} Dhik,从而得到复合函数 f i ( u j k ( x ) ) f_{i}(u_{j_k}(x)) fi(ujk(x)), x ∈ D h i k x\in{D_{h_{ik}}} xDhik, i = 1 , 2 , ⋯   , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,,n

  • f ( x ) = { ( x − 1 ) 2 x ⩽ 1 1 x − 1 x > 1 f(x)=\begin{cases}(x-1)^2&x\leqslant{1}\\\frac{1}{x-1}&x>1\end{cases} f(x)={(x1)2x11x1x>1

  • g ( x ) = { 2 x x > 0 3 x x ⩽ 0 g(x)=\begin{cases}2x&x>0\\3x&x\leqslant{0}\end{cases} g(x)={2x3xx>0x0

  • f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x))

    • 初步复合

      • f ( g ( x ) ) = { ( g ( x ) − 1 ) 2 g ( x ) ⩽ 1 1 g ( x ) − 1 g ( x ) > 1 f(g(x))=\begin{cases} (g(x)-1)^2&g(x)\leqslant{1}\\ \frac{1}{g(x)-1}&g(x)>1 \end{cases} f(g(x))={(g(x)1)2g(x)11g(x)1g(x)>1
    • 进一步展开

      • f ( g ( x ) ) = { ( 2 x − 1 ) 2 2 x ⩽ 1 , x > 0 ( 3 x − 1 ) 2 3 x ⩽ 1 , x ⩽ 0 1 2 x − 1 2 x > 1 , x > 0 3 2 x − 1 2 x > 1 , x ⩽ 0 f(g(x))=\begin{cases} (2x-1)^2 &2x\leqslant{1},x>0\\ (3x-1)^2 &3x\leqslant{1},x\leqslant{0}\\ \frac{1}{2x-1} &2x>{1},x>0\\ \frac{3}{2x-1} &2x>{1},x\leqslant{0} \end{cases} f(g(x))= (2x1)2(3x1)22x112x132x1,x>03x1,x02x>1,x>02x>1,x0
    • 化简

      • f ( g ( x ) ) = { ( 2 x − 1 ) 2 x ∈ ( 0 , 1 2 ] ( 3 x − 1 ) 2 x ∈ ( − ∞ , 0 ] 1 2 x − 1 x ∈ [ 1 2 , + ∞ ) 3 2 x − 1 x ∈ ∅ f(g(x))=\begin{cases} (2x-1)^2 &x\in(0,\frac{1}{2}]\\ (3x-1)^2 &x\in(-\infin,0]\\ \frac{1}{2x-1} &x\in[\frac{1}{2},+\infin)\\ \frac{3}{2x-1} &x\in\emptyset \end{cases} f(g(x))= (2x1)2(3x1)22x112x13x(0,21]x(,0]x[21,+)x

      • 舍去空集定义域部分
        f ( g ( x ) ) = { ( 2 x − 1 ) 2 x ∈ ( 0 , 1 2 ] ( 3 x − 1 ) 2 x ∈ ( − ∞ , 0 ] 1 2 x − 1 x ∈ [ 1 2 , + ∞ ) f(g(x))=\begin{cases} (2x-1)^2 &x\in(0,\frac{1}{2}]\\ (3x-1)^2 &x\in(-\infin,0]\\ \frac{1}{2x-1} &x\in[\frac{1}{2},+\infin)\\ \end{cases} f(g(x))= (2x1)2(3x1)22x11x(0,21]x(,0]x[21,+)

  • f ( x ) = { 1 3 , − 1 ⩽ x ⩽ 2 0 , e l s e f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3},&-1\leqslant x\leqslant 2\\0,&else \end{cases} f(x)={31,0,1x2else

  • g ( x ) = − x g(x)=-x g(x)=x

  • h = f ( g ( x ) ) = f ( − x ) = { 1 3 , − 1 ⩽ − x ⩽ 2 0 , e l s e = { 1 3 , − 2 ⩽ x ⩽ 1 0 , e l s e h=f(g(x))= f(-x)=\begin{cases} \frac{1}{3},&-1\leqslant \boxed{-x}\leqslant 2 \\0,&else \end{cases} =\begin{cases} \frac{1}{3},&-2\leqslant x\leqslant 1 \\0,&else \end{cases} h=f(g(x))=f(x)={31,0,1x2else={31,0,2x1else

函数的初等运算构成的函数

复合函数的定义域

  • f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)的定义域为 D f 1 D_{f_1} Df1, f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)的定义域为 D f 2 D_{f_2} Df2,令 F ( x ) = f 1 ( f 2 ( x ) ) F(x)=f_1(f_2(x)) F(x)=f1(f2(x)),
  • F F F的定义域是 {   x ∣ f 2 ( x ) ∈ D f 1   } \set{x|f_2(x)\in{D_{f_1}}} {xf2(x)Df1},而不是 D F = D f 1 ∩ D f 2 D_F=D_{f_1}\cap{D_{f_2}} DF=Df1Df2
  • 例如: f 1 ( x ) = ln ⁡ ( x ) f_1(x)=\ln(x) f1(x)=ln(x), g 2 ( x ) = x 2 + 1 g_2(x)=x^2+1 g2(x)=x2+1,则 f 1 ( f 2 ( x ) ) f_1(f_2(x)) f1(f2(x))= ln ⁡ ( x 2 + 1 ) \ln(x^2+1) ln(x2+1)的定义域是 x ∈ R x\in\mathbb{R} xR,而不是 D f 1 ∩ D f 2 = {   x ∣ x > 0   } D_{f_1}\cap{D_{f_2}}=\set{x|x>0} Df1Df2={xx>0}

函数的运算

  • 设函数 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)的定义域依次为 D f , D g D_f,D_g Df,Dg,
  • 若两函数的定义域交集非空,即 D = D f ∩ D g ≠ ∅ D=D_f\cap{D_g}\neq{\emptyset} D=DfDg=,则规定:这两个函数的下列运算:
    • f ± g f\pm{g} f±g: ( f ± g ) ( x ) (f\pm{g})(x) (f±g)(x)= f ( x ) ± g ( x ) f(x)\pm{g(x)} f(x)±g(x), x ∈ D x\in{D} xD
    • f ⋅ g f\cdot{g} fg: ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) ) , x ∈ D (f\cdot{g})(x)=f(x)\cdot{g(x))},x\in{D} (fg)(x)=f(x)g(x)),xD
    • f g \frac{f}{g} gf: ( f g ) ( x ) (\frac{f}{g})(x) (gf)(x)= f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x), x ∈ D \ {   x ∣ g ( x ) = 0   } x\in{D}\backslash \set{x|g(x)=0} xD\{xg(x)=0},这里 \ \backslash \表示求相对补集(差集)

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