EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算

abstract

• 复合函数和分段函数的表示和应用

• 复合函数中我们讨论过函数$g,f$复合为$f\circ g$的条件是$R_g\cap D_f=\varnothing$,并且$f\circ g$的定义域为$\{x\mid g(x)\in D_f\}$

• 函数间的初等运算

分段函数的一般表示

• 若$f$是$n$段分段函数,第$i$段的解析式记为$f_i$,定义域记为$D_i$则分段函数可以看作$n$个函数拼接成一个函数:可记为$f=f_i(x),x\in D_{f_i}$,$(i=1,2,\cdots ,n)$

分段函数复合的基本问题

• 若$f=f_i(x),x\in D_{f_i}$,$(i=1,2,\cdots ,n)$;$g=g_i(x),x\in D_{g_i}$,$(i=1,2,\cdots ,m)$,求$h=f\circ g$?

分析

• 上述问题显然需要分段讨论
• 为了使得问题表达的更加清晰和便于讨论,我们引入中间变量$u$代替字母$x$来改写函数,即
  • $f=f_i(u),x\in D_{f_i}$;$u=u_j(x),x\in D_{u_j}$
  • 其实改为$f=f_i(g),x\in D_{f_i}$;$g=g_i(x),x\in D_{u_i}$也可以
• 基本思想是通过$D_f$筛选出满足$D_f\cap R_u=\varnothing$的定义域$D_h$,其中包含了分段(函数)不等式问题这个过程中自然得到$f\circ g$的结果

算法

• 根据范围$D_{f_i}$求出解集$D_i=\{x\mid u(x)\in D_{f_i}\}$,$i=1,2,\cdots ,n$(分段不等式问题)
  • 若$D_i\ne \varnothing$,且$D_{h_{ik}}=D_i\cap D_{u_{j_k}}\ne \varnothing ,k=1,2,\cdots$,则$f\circ u=f(u(x))$在$D_i$区间内可以复合为$f_i(u_{j_k}(x))$,$x\in D_{h_{ik}}$,$i=1,2,\cdots ,n$
  • 或者更直接地$D_{h_{ij}}=\{x\mid x\in D_{f_i}\cap x\in D_{u_j}\}$,若$D_{h_{ij}}\ne \varnothing$,则$h(x)=f\circ g(x)$=$f_i(u_j(x))$,$x\in D_{h_{ij}}$,这个过程会产生$m\times n$个不等式(其中可能包含解集为空集的不等式,这种情况应舍去,属于无法复合的区间)
• 分段不等式问题中,我们可以借助数形结合的方式,绘制$u(x)$的图像草图,在根据$D_{f_i}$得出自变量$x$的取值范围$D_{h_{ik}}$,从而得到复合函数$f_i(u_{j_k}(x))$,$x\in D_{h_{ik}}$,$i=1,2,\cdots ,n$

例

• $f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2& x⩽1\\ \frac{1}{x-1}& x>1\end{array}$

• $g(x)=\{\begin{array}{ll}2x& x>0\\ 3x& x⩽0\end{array}$

• 求$f(g(x))$

• 解

  • 初步复合

    • $$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}(g(x)-1{)}^2& g(x)⩽1\\ \frac{1}{g(x)-1}& g(x)>1\end{array}$$

  • 进一步展开

    • $$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}(2x-1{)}^2& 2x⩽1,x>0\\ (3x-1{)}^2& 3x⩽1,x⩽0\\ \frac{1}{2x-1}& 2x>1,x>0\\ \frac{3}{2x-1}& 2x>1,x⩽0\end{array}$$

  • 化简

    • $$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}(2x-1{)}^2& x\in (0,\frac{1}{2}]\\ (3x-1{)}^2& x\in (-\infty ,0]\\ \frac{1}{2x-1}& x\in [\frac{1}{2},+\infty )\\ \frac{3}{2x-1}& x\in \varnothing \end{array}$$

    • 舍去空集定义域部分
      $$f(g(x))=\{\begin{array}{ll}(2x-1{)}^2& x\in (0,\frac{1}{2}]\\ (3x-1{)}^2& x\in (-\infty ,0]\\ \frac{1}{2x-1}& x\in [\frac{1}{2},+\infty )\end{array}$$

例

• $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1⩽x⩽2\\ 0,& else\end{array}$

• $g(x)=-x$

• $$h=f(g(x))=f(-x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -1⩽\boxed{-x}⩽2\\ 0,& else\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3},& -2⩽x⩽1\\ 0,& else\end{array}$$

函数的初等运算构成的函数

复合函数的定义域

• $f_1(x)$的定义域为$D_{f_1}$,$f_2(x)$的定义域为$D_{f_2}$,令$F(x)=f_1(f_2(x))$,
• $F$的定义域是$\{x\mid f_2(x)\in D_{f_1}\}$,而不是$D_F=D_{f_1}\cap D_{f_2}$
• 例如:$f_1(x)=\ln (x)$,$g_2(x)=x^2+1$,则$f_1(f_2(x))$=$\ln (x^2+1)$的定义域是$x\in \mathbb{R}$,而不是$D_{f_1}\cap D_{f_2}=\{x\mid x>0\}$

函数的运算

• 设函数$f(x),g(x)$的定义域依次为$D_f,D_g$,
• 若两函数的定义域交集非空,即$D=D_f\cap D_g\ne \varnothing$,则规定:这两个函数的下列运算:
  • $f\pm g$:$(f\pm g)(x)$=$f(x)\pm g(x)$,$x\in D$
  • $f\cdot g$:$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)),x\in D$
  • $\frac{f}{g}$:$(\frac{f}{g})(x)$=$\frac{f(x)}{g(x)}$,$x\in D\backslash \{x\mid g(x)=0\}$,这里$\backslash$表示求相对补集(差集)