EM@分段函数复合的基本问题@函数间的初等运算
文章目录
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- abstract
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- 分段函数的一般表示
- 分段函数复合的基本问题
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- 分析
- 算法
- 例
- 例
- 函数的初等运算构成的函数
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- 复合函数的定义域
- 函数的运算
abstract
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复合函数和分段函数的表示和应用
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复合函数中我们讨论过函数 g , f g,f g,f复合为 f ∘ g f\circ{g} f∘g的条件是 R g ∩ D f = ∅ R_{g}\cap{D_f}=\emptyset Rg∩Df=∅,并且 f ∘ g f\circ{g} f∘g的定义域为 { x ∣ g ( x ) ∈ D f } \set{x|g(x)\in{D_{f}}} {x∣g(x)∈Df}
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函数间的初等运算
分段函数的一般表示
- 若 f f f是 n n n段分段函数,第 i i i段的解析式记为 f i f_i fi,定义域记为 D i D_i Di则分段函数可以看作 n n n个函数拼接成一个函数:可记为 f = f i ( x ) , x ∈ D f i f=f_{i}(x),x\in{D_{f_i}} f=fi(x),x∈Dfi, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n)
分段函数复合的基本问题
- 若 f = f i ( x ) , x ∈ D f i f=f_{i}(x),x\in{D_{f_i}} f=fi(x),x∈Dfi, ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,⋯,n); g = g i ( x ) , x ∈ D g i g=g_{i}(x),x\in{D_{g_i}} g=gi(x),x∈Dgi, ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) (i=1,2,\cdots,m) (i=1,2,⋯,m),求 h = f ∘ g h=f\circ{g} h=f∘g?
分析
- 上述问题显然需要分段讨论
- 为了使得问题表达的更加清晰和便于讨论,我们引入中间变量 u u u代替字母 x x x来改写函数,即
- f = f i ( u ) , x ∈ D f i f=f_i(u),x\in{D_{f_i}} f=fi(u),x∈Dfi; u = u j ( x ) , x ∈ D u j u=u_{j}(x),x\in{D_{u_j}} u=uj(x),x∈Duj
- 其实改为 f = f i ( g ) , x ∈ D f i f=f_i(g),x\in{D_{f_i}} f=fi(g),x∈Dfi; g = g i ( x ) , x ∈ D u i g=g_{i}(x),x\in{D_{u_i}} g=gi(x),x∈Dui也可以
- 基本思想是通过 D f D_f Df筛选出满足 D f ∩ R u = ∅ D_{f}\cap R_{u}=\emptyset Df∩Ru=∅的定义域 D h D_{h} Dh,其中包含了分段(函数)不等式问题这个过程中自然得到 f ∘ g f\circ{g} f∘g的结果
算法
- 根据范围 D f i D_{f_i} Dfi求出解集 D i = { x ∣ u ( x ) ∈ D f i } D_i=\set{x|u(x)\in{D_{f_i}}} Di={x∣u(x)∈Dfi}, i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n(分段不等式问题)
- 若 D i ≠ ∅ D_i\neq{\emptyset} Di=∅,且 D h i k = D i ∩ D u j k ≠ ∅ , k = 1 , 2 , ⋯ D_{h_{ik}}=D_i\cap D_{u_{j_k}}\neq{\empty},k=1,2,\cdots Dhik=Di∩Dujk=∅,k=1,2,⋯,则 f ∘ u = f ( u ( x ) ) f\circ{u}=f(u(x)) f∘u=f(u(x))在 D i D_i Di区间内可以复合为 f i ( u j k ( x ) ) f_{i}(u_{j_k}(x)) fi(ujk(x)), x ∈ D h i k x\in{D_{h_{ik}}} x∈Dhik, i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
- 或者更直接地 D h i j = { x ∣ x ∈ D f i ∩ x ∈ D u j } D_{h_{ij}}=\set{x|x\in{D_{f_i}}\cap{x\in{D_{u_{j}}}}} Dhij={x∣x∈Dfi∩x∈Duj},若 D h i j ≠ ∅ D_{h_{ij}}\neq{\emptyset} Dhij=∅,则 h ( x ) = f ∘ g ( x ) h(x)=f\circ{g}(x) h(x)=f∘g(x)= f i ( u j ( x ) ) f_{i}(u_{j}(x)) fi(uj(x)), x ∈ D h i j x\in D_{h_{ij}} x∈Dhij,这个过程会产生 m × n m\times{n} m×n个不等式(其中可能包含解集为空集的不等式,这种情况应舍去,属于无法复合的区间)
- 分段不等式问题中,我们可以借助数形结合的方式,绘制 u ( x ) u(x) u(x)的图像草图,在根据 D f i D_{f_i} Dfi得出自变量 x x x的取值范围 D h i k D_{h_{ik}} Dhik,从而得到复合函数 f i ( u j k ( x ) ) f_{i}(u_{j_k}(x)) fi(ujk(x)), x ∈ D h i k x\in{D_{h_{ik}}} x∈Dhik, i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
例
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f ( x ) = { ( x − 1 ) 2 x ⩽ 1 1 x − 1 x > 1 f(x)=\begin{cases}(x-1)^2&x\leqslant{1}\\\frac{1}{x-1}&x>1\end{cases} f(x)={(x−1)2x−11x⩽1x>1
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g ( x ) = { 2 x x > 0 3 x x ⩽ 0 g(x)=\begin{cases}2x&x>0\\3x&x\leqslant{0}\end{cases} g(x)={2x3xx>0x⩽0
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求 f ( g ( x ) ) f(g(x)) f(g(x))
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解
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初步复合
- f ( g ( x ) ) = { ( g ( x ) − 1 ) 2 g ( x ) ⩽ 1 1 g ( x ) − 1 g ( x ) > 1 f(g(x))=\begin{cases} (g(x)-1)^2&g(x)\leqslant{1}\\ \frac{1}{g(x)-1}&g(x)>1 \end{cases} f(g(x))={(g(x)−1)2g(x)−11g(x)⩽1g(x)>1
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进一步展开
- f ( g ( x ) ) = { ( 2 x − 1 ) 2 2 x ⩽ 1 , x > 0 ( 3 x − 1 ) 2 3 x ⩽ 1 , x ⩽ 0 1 2 x − 1 2 x > 1 , x > 0 3 2 x − 1 2 x > 1 , x ⩽ 0 f(g(x))=\begin{cases} (2x-1)^2 &2x\leqslant{1},x>0\\ (3x-1)^2 &3x\leqslant{1},x\leqslant{0}\\ \frac{1}{2x-1} &2x>{1},x>0\\ \frac{3}{2x-1} &2x>{1},x\leqslant{0} \end{cases} f(g(x))=⎩ ⎨ ⎧(2x−1)2(3x−1)22x−112x−132x⩽1,x>03x⩽1,x⩽02x>1,x>02x>1,x⩽0
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化简
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f ( g ( x ) ) = { ( 2 x − 1 ) 2 x ∈ ( 0 , 1 2 ] ( 3 x − 1 ) 2 x ∈ ( − ∞ , 0 ] 1 2 x − 1 x ∈ [ 1 2 , + ∞ ) 3 2 x − 1 x ∈ ∅ f(g(x))=\begin{cases} (2x-1)^2 &x\in(0,\frac{1}{2}]\\ (3x-1)^2 &x\in(-\infin,0]\\ \frac{1}{2x-1} &x\in[\frac{1}{2},+\infin)\\ \frac{3}{2x-1} &x\in\emptyset \end{cases} f(g(x))=⎩ ⎨ ⎧(2x−1)2(3x−1)22x−112x−13x∈(0,21]x∈(−∞,0]x∈[21,+∞)x∈∅
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舍去空集定义域部分
f ( g ( x ) ) = { ( 2 x − 1 ) 2 x ∈ ( 0 , 1 2 ] ( 3 x − 1 ) 2 x ∈ ( − ∞ , 0 ] 1 2 x − 1 x ∈ [ 1 2 , + ∞ ) f(g(x))=\begin{cases} (2x-1)^2 &x\in(0,\frac{1}{2}]\\ (3x-1)^2 &x\in(-\infin,0]\\ \frac{1}{2x-1} &x\in[\frac{1}{2},+\infin)\\ \end{cases} f(g(x))=⎩ ⎨ ⎧(2x−1)2(3x−1)22x−11x∈(0,21]x∈(−∞,0]x∈[21,+∞)
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例
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f ( x ) = { 1 3 , − 1 ⩽ x ⩽ 2 0 , e l s e f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3},&-1\leqslant x\leqslant 2\\0,&else \end{cases} f(x)={31,0,−1⩽x⩽2else
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g ( x ) = − x g(x)=-x g(x)=−x
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h = f ( g ( x ) ) = f ( − x ) = { 1 3 , − 1 ⩽ − x ⩽ 2 0 , e l s e = { 1 3 , − 2 ⩽ x ⩽ 1 0 , e l s e h=f(g(x))= f(-x)=\begin{cases} \frac{1}{3},&-1\leqslant \boxed{-x}\leqslant 2 \\0,&else \end{cases} =\begin{cases} \frac{1}{3},&-2\leqslant x\leqslant 1 \\0,&else \end{cases} h=f(g(x))=f(−x)={31,0,−1⩽−x⩽2else={31,0,−2⩽x⩽1else
函数的初等运算构成的函数
复合函数的定义域
- f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)的定义域为 D f 1 D_{f_1} Df1, f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)的定义域为 D f 2 D_{f_2} Df2,令 F ( x ) = f 1 ( f 2 ( x ) ) F(x)=f_1(f_2(x)) F(x)=f1(f2(x)),
- F F F的定义域是 { x ∣ f 2 ( x ) ∈ D f 1 } \set{x|f_2(x)\in{D_{f_1}}} {x∣f2(x)∈Df1},而不是 D F = D f 1 ∩ D f 2 D_F=D_{f_1}\cap{D_{f_2}} DF=Df1∩Df2
- 例如: f 1 ( x ) = ln ( x ) f_1(x)=\ln(x) f1(x)=ln(x), g 2 ( x ) = x 2 + 1 g_2(x)=x^2+1 g2(x)=x2+1,则 f 1 ( f 2 ( x ) ) f_1(f_2(x)) f1(f2(x))= ln ( x 2 + 1 ) \ln(x^2+1) ln(x2+1)的定义域是 x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R,而不是 D f 1 ∩ D f 2 = { x ∣ x > 0 } D_{f_1}\cap{D_{f_2}}=\set{x|x>0} Df1∩Df2={x∣x>0}
函数的运算
- 设函数 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)的定义域依次为 D f , D g D_f,D_g Df,Dg,
- 若两函数的定义域交集非空,即 D = D f ∩ D g ≠ ∅ D=D_f\cap{D_g}\neq{\emptyset} D=Df∩Dg=∅,则规定:这两个函数的下列运算:
- f ± g f\pm{g} f±g: ( f ± g ) ( x ) (f\pm{g})(x) (f±g)(x)= f ( x ) ± g ( x ) f(x)\pm{g(x)} f(x)±g(x), x ∈ D x\in{D} x∈D
- f ⋅ g f\cdot{g} f⋅g: ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) ) , x ∈ D (f\cdot{g})(x)=f(x)\cdot{g(x))},x\in{D} (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)),x∈D
- f g \frac{f}{g} gf: ( f g ) ( x ) (\frac{f}{g})(x) (gf)(x)= f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)} g(x)f(x), x ∈ D \ { x ∣ g ( x ) = 0 } x\in{D}\backslash \set{x|g(x)=0} x∈D\{x∣g(x)=0},这里 \ \backslash \表示求相对补集(差集)