有用的数学

在《一个数学家的辩白》里，一代数学大师G.H.哈代说：

“真正”数学家的“真正”数学，即费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼所研究的数学，几乎是完全“无用的”（无论是“应用”数学还是“纯”数学都是如此）。对于任何真正的职业数学家，都不可能仅凭他工作的“实用性”来评判其一生。

哈代所说的“无用”是狭义的，主要指那种可以带来物质的、实际的功用。对他来说，数学真正的价值在于带来美的体验和深邃的思想，“真正”的数学由于具有高度抽象性/普遍性和深刻性，不太可能转换成对物质世界有帮助的形式。作为后人，我们知道哈代错了。

20世纪以后，人类的科学技术飞速发展，曾经被认为深奥复杂的数学理论纷纷大展身手。从自然科学里的其他科目到工程技术中的实际问题，几乎所有关涉到物质世界的事情里都少不了数学的身影，数学家们亦如鱼得水。新的数学思想和数学理论层出不穷，人们也总能为它们找到应用场所。仅存的堡垒是一个哈代十分拿手的领域：数论。

在许多坚守“纯数学”领域的数学家和爱好者那里，数论总是作为纯数学的典范被提到，只不过现在他们必须加上一句：尽管如此，数论仍然为密码学提供了帮助。电子计算机与互联网的诞生和发展让数学彻底投降（或者彻底胜利）。互联网使大量的信息交换成为可能，信息遂成为人类财富王国里最伟大的矿藏之一——必须严加看管。代数学的抽象特性使它成为了加密信息的不二之选。

《代数的历史》写道：“这类运算可以运用到根本不是数的对象上。数学家们习以为常的那些符号可以代表任何事物：数、置换、数组、集合、旋转、变换、命题等等”。事实上，代数学的思想和方法几乎可以运用于一切抽象事物，无论是某种文字的字母、作为抽象概念的几何图形，还是自然与人工语言的语法规则。例如，本书第八章“其他公钥系统”讲到的椭圆曲线“加法”，这种加法运算与1+1=2看起来毫无相似之处，但只要满足交换律与结合律，就仍然可以作为一种“加法”来理解和处理。

交换律与结合律一类的基本数学规则确保了密码的稳定性，即按照特定方式将其扰乱之后，又可以按照特定方式将其还原，简言之，关于密码的运算必须是可逆的。原则上，只要一种数学运算是可逆的，那么我们就总是能够将其还原。但是，提前掌握了正确还原方法的人要做到这一点比较轻松，而那些偷听信息的人没有听到正确的还原方法，就必须多花点功夫。因此，加密和破解是一个制造和弥补信息差的过程。这种信息差内含在数学运算之中，它使得许多数学运算的逆运算难度大增。

《密码的数学》循序渐进地介绍了几乎所有的密码构造方式以及对付他们的重要破解方法。这些方法并不需要特别高深的数学知识和技巧就可以理解，但它们常常反映出非常有趣的数学思想。如果你在阅读过程中感到困难，不妨试着玩一玩，很快就能掌握！