【算法小课堂】二分查找算法

【算法小课堂】二分查找算法_第1张图片

简单思路:

当我们要从一个序列中查找一个元素的时候,最快想到的方法就是顺序查找法(即:从前到后依次查找)。但这种方法过于无脑,就是暴力的把每个元素都排查一遍。元素个数少的时候还行,一旦元素个数多起来,效率是非常低下,所以在实际中这种查找的方法是被摒弃的。

当题目或者实际对时间复杂度有着很高的要求的时候,这种暴力解法就显得很乏力

这里就不得不介绍一种简单且效率较高的查找方法了:二分查找法,又称折半查找法。但该方法是建立在有序的前提下的,基本思路就是:

利用两个指针left和right,不断取中点来不断把区间减小从而找到我们的答案

二分查找法的优势:

  • 二分查找法的时间复杂度:O(logN)

  • 暴力解法的时间复杂度:O(N)

如何直观来体现二分查找法时间复杂度的优势呢?

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可以看出 二分查找 在查找数字 37 时只需3次,而 顺序查找 在查找37时需要12次。

二分查找的条件:

很多算法书都是写的具有有序性,其实更准确的是具有二段性

  • 也就是具有可以把数组分为两端的性质

二分查找有两个限制条件:

  1. 查找的数量只能是一个,不能是多个
  2. 查找的对象在逻辑上必须是有序的(这个不是必要条件,更深层次是就有二段性)

朴素二分查找:

1.left=0,right=数组最后一个位置的下标

2.取中点:mid=(right-left)/2

二分法的思想很简单,因为整个数组是有序的,数组默认是递增的。

首先选择数组中间的数字和需要查找的目标值比较

  • 如果相等最好,就可以直接返回答案了

  • 如果不相等

    如果中间的数字大于目标值,则中间数字向右的所有数字都大于目标值,全部排除

    如果中间的数字小于目标值,则中间数字向左的所有数字都小于目标值,全部排除

704. 二分查找

以此题为例:

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left=0;
        int right=nums.size()-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]==target) return mid;
            if(nums[mid]>target) right=mid-1;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
        }
        return -1;
        }
};

朴素二分查找的模版:

        while(left<=right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]==target) return mid;
            if(nums[mid]>target) ...;
            if(nums[mid]<target) ...;
        }
        return ...;

二分查找左右端点:

我们通过一个例子:

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

本题我们利用二分来解决左右端点的问题,首先left和right肯定有的

我们通过一个示例来了解本题:[1,2,3,3,3,4,5]

查找左端点:我们这里用t来代替target(这样比较好叙述)

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  • 二分的思路操作:我们可以将上述示例分为两个部分,因为我们现在查找左端点,因此我可以将示例分为【[1,2],[3,3,3,4,5]】

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  1. 当x
  2. 当x>=t时,处于【3,3,3,4,5】这个区间,right=mid(这里不能等于mid-1,因为如果mid=0,right=-1会越界)
  • 细节处理:

循环条件:

  1. left
  2. left<=right ×

我们选择那种呢?我们来讨论一下:

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  1. 有结果
  2. 全大于t(t1),right一直向左走,最后right为left结束,如果是left<=right会死循环
  3. 全小于t(t2),left一直向右走,最后left在right右边结束

以此我们只能选择第一种不能选择第二种!

求中间的操作:

  1. left+(right-left)/2 ×
  2. left+(right-left+1)/2

我们考虑一下极端情况就可以知道了!当只剩下两个元素的时候:

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第一种没有问题,第二种mid=0+2/2=1,当进行left+1操作的时候会发生越界

查找右端点

  • 二分的思路操作:我们可以将上述示例分为两个部分,因为我们现在查找左端点,因此我可以将示例分为【[1,2,3,3,3].[4,5]】

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  1. 当x<=t时,处于【1,2,3,3,3】这个区间,left=mid
  2. 当x>t时,处于【4,5】这个区间,right=mid-1
  • 细节处理:

循环条件:

  1. left
  2. left<=right ×

还是选择left

求中间的操作:

  1. left+(right-left)/2
  2. left+(right-left+1)/2 ×

我们考虑一下极端情况就可以知道了!当只剩下两个元素的时候:

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第一种当mid=0+1/2=0时,right=mid-1越界,第二种没有问题

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        //特殊情况处理一下
        if(nums.size()==0)return {-1,-1};
        int left=0,right=nums.size()-1;
        vector<int> ret;
        //查找左端点
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target)left=mid+1;
            if(nums[mid]>=target)right=mid;
        }
        //当left==right时就是结果
        if(nums[left]!=target)return {-1,-1};
        else ret.push_back(left);
        //查找右端点
        left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]<=target)left=mid;
            if(nums[mid]>target)right=mid-1;
        }
        if(nums[right]!=target)return {-1,-1};
        else ret.push_back(right);
        return ret;
    }
};

查找区间左右端点的模版:

【算法小课堂】二分查找算法_第9张图片

模版,这里主要是取中间这里不太一样,左端点时不用+1,右端点+1(记忆当下面出现-1,上面就+1)

至于left和right可以现场推导

在这里插入图片描述

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