PCA和SVD数据降维

PCA（Principal Component Analysis） 是一种常见的数据分析方式，常用于高维数据的降维，可用于提取数据的主要特征分量。

最大可分性

基向量乘原始矩阵会将矩阵映射到这个基向量空间中，如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。

如何选取基？

希望投影后的投影值尽可能分散，因为如果重叠就会有样本消失。当然这个也可以从熵的角度进行理解，熵越大所含信息越多。

数据的分散程度可以用方差来表示，所以需要将方差最大化

一维是方差，而对于高维数据，我们用协方差进行约束，协方差可以表示两个变量的相关性。为了让两个变量尽可能表示更多的原始信息，我们希望它们之间不存在线性相关性。

协方差公式：

为了方便处理，我们将每个变量的均值都化为 0

当样本数较大时，不必在意其是 m 还是 m-1，为了方便计算，我们分母取 m。

当协方差为0时，表示两个变量线性不相关，为了让协方差为0，我们选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上进行选择，因此最终选择的两个方向一定是正交的。

至此，我们得到了降维问题的优化目标：将一组 N 维向量降为 K 维，其目标是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各变量两两间协方差为 0，而变量方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的 K 个方差）

根据我们的优化条件，我们需要将除对角线外的其它元素化为 0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列（变量方差尽可能大）

设原始数据矩阵 X 对应的协方差矩阵为 C，而 P 是一组基按行组成的矩阵，设 Y=PX，则 Y 为 X 对 P 做基变换后的数据。设 Y 的协方差矩阵为 D，我们推导一下 D 与 C 的关系：

所以P为所要求的基矩阵

求解步骤

总结一下 PCA 的算法步骤：

设有 m 条 n 维数据。

1. 将原始数据按列组成 n 行 m 列矩阵 X；
2. 将 X 的每一行进行零均值化，即减去这一行的均值；
3. 求出协方差矩阵 ；
4. 求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量；
5. 将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前 k 行组成矩阵 P；
6. Y=PX即为降维到 k 维后的数据

PCA与SVD本质一样

SVD：

SVD的基矩阵是和的特征值分解的特征向量按列组成的正交矩阵左奇异矩阵V，右奇异矩阵U，PCA只与SVD的右奇异向量的压缩效果相同

为什么分左奇异右奇异矩阵？

因为SVD所求的矩阵不是方阵，协方差矩阵不一样

当矩阵为方阵是SVD等价于PCA

当，则

SVD与PCA等价，所以PCA问题可以转化为SVD问题求解，那转化为SVD问题有什么好处？

有三点：

1. 一般 X 的维度很高， 的计算量很大
2. 方阵的特征值分解计算效率不高
3. SVD除了特征值分解这种求解方式外，还有更高效且更准确的迭代求解法，避免了 的计算

其实，PCA只与SVD的右奇异向量的压缩效果相同。

1. 如果取V的前 k 行作为变换矩阵  ，则  ，起到压缩行即降维的效果
2. 如果取 U的前 k行作为变换矩阵  ，则  ，起到压缩列即去除冗余样本的效果。

from __future__ import print_function
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
print(__doc__)

def loadDataSet(fileName,delim='\t'):
    fr=open(fileName)
    stringArr=[line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
    datArr=[map(float,line) for line in stringArr]
    return mat(datArr)

def pca(dataMat,topNfeat=9999999):
    """pca

    Args:
        dataMat   原数据集矩阵
        topNfeat  应用的N个特征
    Returns:
        lowDDataMat  降维后数据集
        reconMat     新的数据集空间
    """

    # 计算每一列的均值
    meanVals=mean(dataMat,axis=0)
    # print 'meanVals', meanVals

    # 每个向量同时都减去 均值
    meanRemoved=dataMat-meanVals
    # print 'meanRemoved=', meanRemoved

    # cov协方差=[(x1-x均值)*(y1-y均值)+(x2-x均值)*(y2-y均值)+...+(xn-x均值)*(yn-y均值)+]/(n-1)
    '''
    方差: （一维）度量两个随机变量关系的统计量
    协方差:  （二维）度量各个维度偏离其均值的程度
    协方差矩阵: （多维）度量各个维度偏离其均值的程度

    当 cov(X, Y)>0时，表明X与Y正相关；(X越大，Y也越大；X越小Y，也越小。这种情况，我们称为“正相关”。)
    当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；
    当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。
    '''
    covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
    
    # eigVals为特征值， eigVects为特征向量
    eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))
    # print 'eigVals=', eigVals
    # print 'eigVects=', eigVects
    # 对特征值，进行从小到大的排序，返回从小到大的index序号
    # 特征值的逆序就可以得到topNfeat个最大的特征向量
    '''
    >>> x = np.array([3, 1, 2])
    >>> np.argsort(x)
    array([1, 2, 0])  # index,1 = 1; index,2 = 2; index,0 = 3
    >>> y = np.argsort(x)
    >>> y[::-1]
    array([0, 2, 1])
    >>> y[:-3:-1]
    array([0, 2])  # 取出 -1, -2
    >>> y[:-6:-1]
    array([0, 2, 1])
    '''
    eigValInd=argsort(eigVals)
    # print 'eigValInd1=', eigValInd

    # -1表示倒序，返回topN的特征值[-1 到 -(topNfeat+1) 但是不包括-(topNfeat+1)本身的倒叙]
    eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
    # print 'eigValInd2=', eigValInd
    # 重组 eigVects 最大到最小
    redEigVects=eigVects[:,eigValInd]
    # print 'redEigVects=', redEigVects.T
    # 将数据转换到新空间
    # print "---", shape(meanRemoved), shape(redEigVects)
    lowDDataMat=meanRemoved*redEigVects
    reconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals
    # print 'lowDDataMat=', lowDDataMat
    # print 'reconMat=', reconMat
    return lowDDataMat,reconMat

def replaceNanWithMean():
    datMat=loadDataSet('data/13.PCA/secom.data', ' ')
    numFeat=shape(datMat)[1]
    for i in range(numFeat):
        # 对value不为NaN的求均值
        # .A 返回矩阵基于的数组
        meanVal=mean(datMat[nonzero(~isnan(datMat[:,i].A))[0],i])
        # 将value为NaN的值赋值为均值
        datMat[nonzero(isnan(datMat[:,i].A))[0],i]=meanVal
    return datMat

def show_picture(dataMat,reconMat):
    fig=plt.figure()
    ax=fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(dataMat[:,0].flatten().A[0],dataMat[:,1].flatten().A[0],marker='^',s=90,c='green')
    ax.scatter(reconMat[:, 0].flatten().A[0], reconMat[:, 1].flatten().A[0], marker='v', s=50, c='red')
    plt.show()
    
def analyse_data(dataMat):
    meanVals=mean(dataMat,axis=0)
    meanRemoved=dataMat-meanVals
    covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
    eigvals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))
    eigValInd=argsort(eigvals)
    
    topNfeat=20
    eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
    cov_all_score=float(sum(eigvals))
    sum_cov_score=0
    for i in range(0,len(eigValInd)):
        line_cov_score=float(eigvals[eigValInd[i]])
        sum_cov_score+=line_cov_score
        '''
        我们发现其中有超过20%的特征值都是0。
        这就意味着这些特征都是其他特征的副本，也就是说，它们可以通过其他特征来表示，而本身并没有提供额外的信息。

        最前面15个值的数量级大于10^5，实际上那以后的值都变得非常小。
        这就相当于告诉我们只有部分重要特征，重要特征的数目也很快就会下降。

        最后，我们可能会注意到有一些小的负值，他们主要源自数值误差应该四舍五入成0.
        '''
        print('主成分: %s, 方差占比: %s%%, 累积方差占比: %s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(line_cov_score/cov_all_score*100, '4.2f'), format(sum_cov_score/cov_all_score*100, '4.1f')))
        
        

import numpy as np
x=np.array([3,1,2])
print(np.argsort(x))
y = np.argsort(x)
print(y)
print(y[::-1])
print(y[1:3:1])

# 加载数据，并转化数据类型为float
dataMat=loadDataSet('data/13.PCA/testSet.txt')
# 只需要1个特征向量
lowDmat,reconMat=pca(dataMat,1)
# 只需要2个特征向量，和原始数据一致，没任何变化
lowDmat,reconMat=pca(dataMat,2)
print(shape(lowDmat))
show_picture(dataMat,reconMat)
show_picture(dataMat,lowDmat)
show_picture(reconMat,lowDmat)

# 利用PCA对半导体制造数据降维
dataMat = replaceNanWithMean()
print(shape(dataMat))
# 分析数据
analyse_data(dataMat)
lowDmat, reconMat = pca(dataMat, 20)
print (shape(lowDmat))
show_picture(dataMat,reconMat)
show_picture(dataMat,lowDmat)
show_picture(reconMat,lowDmat)

SVD：

应用场景：

1.信息检索-隐性语义检索（Latent Semantic Indexing, LSI）或 隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）

2.推荐系统

1. 利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。
2. 再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。

3.图像压缩

将图像矩阵进行奇异值分解，然后存储

例如: 32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

推荐系统：

基于物品的相似度和基于用户的相似度: 物品比较少则选择物品相似度，用户比较少则选择用户相似度。

• 基于物品的相似度: 计算物品之间的距离。【耗时会随物品数量的增加而增加】
• 由于物品A和物品C 相似度(相关度)很高，所以给买A的人推荐C。

• 基于用户的相似度: 计算用户之间的距离。【耗时会随用户数量的增加而增加】
• 由于用户A和用户C 相似度(相关度)很高，所以A和C是兴趣相投的人，对于C买的物品就会推荐给A。

相似度计算：

• inA, inB 对应的是 列向量

1. 欧氏距离: 指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。二维或三维中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
   • 相似度= 1/(1+欧式距离)
   • 相似度= 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))
   • 物品对越相似，它们的相似度值就越大。
2. 皮尔逊相关系数: 度量的是两个向量之间的相似度。
   • 相似度= 0.5 + 0.5*corrcoef() 【皮尔逊相关系数的取值范围从 -1 到 +1，通过函数0.5 + 0.5*corrcoef()这个函数计算，把值归一化到0到1之间】
   • 相似度= 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]
   • 相对欧氏距离的优势: 它对用户评级的量级并不敏感。
3. 余弦相似度: 计算的是两个向量夹角的余弦值。
   • 余弦值 = (A·B)/(||A||·||B||) 【余弦值的取值范围也在-1到+1之间】
   • 相似度= 0.5 + 0.5*余弦值
   • 相似度= 0.5 + 0.5*( float(inA.T*inB) / la.norm(inA)*la.norm(inB))
   • 如果夹角为90度，则相似度为0；如果两个向量的方向相同，则相似度为1.0。

推荐系统的原理

• 推荐系统的工作过程: 给定一个用户，系统会为此用户返回N个最好的推荐菜。
• 实现流程大致如下:
  1. 寻找用户没有评级的菜肴，即在用户-物品矩阵中的0值。
  2. 在用户没有评级的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评级分数。这就是说: 我们认为用户可能会对物品的打分（这就是相似度计算的初衷）。
  3. 对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品。

#SVD
from __future__ import print_function
from numpy import linalg as la
from numpy import *

def loadExData3():
    # 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵
    return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],
           [1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]

def loadExData2():
    # 书上代码给的示例矩阵
    return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],
           [0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],
           [4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],
           [0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],
           [0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],
           [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]
def loadExData():
    """
    # 推荐引擎示例矩阵
    return[[4, 4, 0, 2, 2],
           [4, 0, 0, 3, 3],
           [4, 0, 0, 1, 1],
           [1, 1, 1, 2, 0],
           [2, 2, 2, 0, 0],
           [1, 1, 1, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0]]
    """
    # # 原矩阵
    # return[[1, 1, 1, 0, 0],
    #        [2, 2, 2, 0, 0],
    #        [1, 1, 1, 0, 0],
    #        [5, 5, 5, 0, 0],
    #        [1, 1, 0, 2, 2],
    #        [0, 0, 0, 3, 3],
    #        [0, 0, 0, 1, 1]]

    # 原矩阵
    return[[0, -1.6, 0.6],
           [0, 1.2, 0.8],
           [0, 0, 0],
           [0, 0, 0]]

# 相似度计算，假定inA和inB 都是列向量
# 基于欧氏距离
def ecludSim(inA,inB):
    return 1.0/(1.0+la.norm(inA-inB))

# pearsSim()函数会检查是否存在3个或更多的点。
# corrcoef直接计算皮尔逊相关系数，范围[-1, 1]，归一化后[0, 1]
def pearsSim(inA,inB):
    # 如果不存在，该函数返回1.0，此时两个向量完全相关。
    if len(inA)<3:
        return 1.0
    return 0.5+0.5*corrcoef(inA,inB,rowvar=0)[0][1]

# 计算余弦相似度，如果夹角为90度，相似度为0；如果两个向量的方向相同，相似度为1.0
def cosSim(inA,inB):
    num=float(inA.T*inB)
    denom=la.norm(inA)*la.norm(inB)
    return 0.5+0.5*(num/denom)

# 基于物品相似度的推荐引擎
def standEst(dataMat,user,simMeas,item):
    """standEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        item            未评分的物品编号
    Returns:
        ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
    """
    # 得到数据集中的物品数目
    n=shape(dataMat)[1]
    # 初始化两个评分值
    simTotal=0.0
    ratSimTotal=0.0
    # 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品进行遍历，并将它与其他物品进行比较）
    for j in range(n):
        userRating=dataMat[user,j]
        # 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品
        if userRating==0:
            continue
        # 寻找两个用户都评级的物品
        # 变量 overLap 给出的是两个物品当中已经被评分的那个元素的索引ID
        # logical_and 计算x1和x2元素的真值。
        overLap=nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0,dataMat[:,j].A>0))[0]
        # 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环
        if len(overLap)==0:
            similarity=0
        # 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。
        else:
            similarity=simMeas(dataMat[overLap,item],dataMat[overLap,j])
        # print 'the %d and %d similarity is : %f'(iten,j,similarity)
        # 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积
        # similarity  用户相似度，   userRating 用户评分
        simTotal+=similarity
        ratSimTotal+=similarity*userRating
    if simTotal==0:
        return 0
    # 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序
    else:
        return ratSimTotal/simTotal
    
# 基于SVD的评分估计
# 在recommend() 中，这个函数用于替换对standEst()的调用，该函数对给定用户给定物品构建了一个评分估计值
def svdEst(dataMat,user,simMeas,item):
    """svdEst( )

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        item            未评分的物品编号
    Returns:
        ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
    """
    # 物品数目
    n=shape(dataMat)[1]
    # 对数据集进行SVD分解
    simTotal=0.0
    ratSimTotal=0.0
    # 奇异值分解
    # 在SVD分解之后，我们只利用包含了90%能量值的奇异值，这些奇异值会以NumPy数组的形式得以保存
    U,Sigma,VT=la.svd(dataMat)
    # # 分析 Sigma 的长度取值
    # analyse_data(Sigma, 20)

    # 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵
    Sig4=mat(eye(4)*Sigma[:4])
    # 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的特征)
    xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I
    xformedItems1 =   U[:, :4].T *dataMat
    print('dataMat', shape(dataMat))
    print('U[:, :4]', shape(U[:, :4]))
    print('Sig4.I', shape(Sig4.I))
    print('VT[:4, :]', (VT[:4, :]))
    print('xformedItems', (xformedItems))
    print('xformedItems1', (xformedItems1))
    # 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历
    # 这和standEst()函数中的for循环的目的一样，只不过这里的相似度计算时在低维空间下进行的。
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        if userRating == 0 or j == item:
            continue
        # 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数
        similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)
        # for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉
        print('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity))
        # 对相似度不断累加求和
        simTotal += similarity
        # 对相似度及对应评分值的乘积求和
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    else:
        # 计算估计评分
        return ratSimTotal/simTotal
    
# recommend()函数，就是推荐引擎，它默认调用standEst()函数，产生了最高的N个推荐结果。
# 如果不指定N的大小，则默认值为3。该函数另外的参数还包括相似度计算方法和估计方法
def recommend(dataMat,user,N=3,simMeas=cosSim,estMethod=standEst):
    """svdEst( )

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        estMethod       使用的推荐算法
    Returns:
        返回最终 N 个推荐结果
    """
    # 寻找未评级的物品
    # 对给定的用户建立一个未评分的物品列表
    unratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]
    # 如果不存在未评分物品，那么就退出函数
    if len(unratedItems)==0:
        return 'you rated everything'
    # 物品的编号和评分值
    itemScores=[]
    # 在未评分物品上进行循环
    for item in unratedItems:
        # 获取 item 该物品的评分
        estimatedScore=estMethod(dataMat,user,simMeas,item)
        itemScores.append((item,estimatedScore))
    # 按照评分得分 进行逆排序，获取前N个未评级物品进行推荐
    return sorted(itemScores,key=lambda jj:jj[1],reverse=True)[:N]

def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    """analyse_data(分析 Sigma 的长度取值)

    Args:
        Sigma         Sigma的值
        loopNum       循环次数
    """
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        '''
        根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数

        通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
        '''
        print('主成分: %s, 方差占比: %s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '4.2f')))
        
# 图像压缩函数
# 加载并转换数据
def imgLoadData(filename):
    myl=[]
    # 打开文本文件，并从文件以数组方式读入字符
    for line in open(filename).readlines():
        newRow=[]
        for i in range(32):
            newRow.append(int(line[i]))
        myl.append(newRow)
    # 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵
    myMat = mat(myl)
    return myMat

# 打印矩阵
def printMat(inMat, thresh=0.8):
    # 由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0
    for i in range(32):
        for k in range(32):
            if float(inMat[i, k]) > thresh:
                print(1, end=' ')
            else:
                print(0, end=' ')
        print('')

# 实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
    """imgCompress( )

    Args:
        numSV       Sigma长度   
        thresh      判断的阈值
    """
    # 构建一个列表
    myMat=imgLoadData('data/14.SVD/0_5.txt')
    print("****original matrix****")
    # 对原始图像进行SVD分解并重构图像e
    printMat(myMat, thresh)

    # 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现
    # Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。
    U, Sigma, VT = la.svd(myMat)
    # SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
    # for k in range(numSV):
    #     SigRecon[k, k] = Sigma[k]

    # 分析插入的 Sigma 长度
    analyse_data(Sigma, 20)

    SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])
    reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]
    print("****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV)
    printMat(reconMat, thresh)

    

# 对矩阵进行SVD分解(用python实现SVD)
Data = loadExData()
print ('Data:', Data)
U, Sigma, VT = linalg.svd(Data)
# 打印Sigma的结果，因为前3个数值比其他的值大了很多，为9.72140007e+00，5.29397912e+00，6.84226362e-01
# 后两个值比较小，每台机器输出结果可能有不同可以将这两个值去掉
print ('U:', U)
print ('Sigma', Sigma)
print ('VT:', VT)
print ('VT:', VT.T)
# 重构一个3x3的矩阵Sig3
Sig3 = mat([[Sigma[0], 0, 0], [0, Sigma[1], 0], [0, 0, Sigma[2]]])
print (U[:, :3] * Sig3 * VT[:3, :])

# 计算欧氏距离
myMat = mat(loadExData())
# print myMat
print (ecludSim(myMat[:, 0], myMat[:, 1]))
print (ecludSim(myMat[:, 0], myMat[:, 0]))

# 计算余弦相似度
print (cosSim(myMat[:, 0], myMat[:, 1]))
print (cosSim(myMat[:, 0], myMat[:, 0]))

# 计算皮尔逊相关系数
print (pearsSim(myMat[:, 0], myMat[:, 1]))
print (pearsSim(myMat[:, 0], myMat[:, 0]))


# 计算相似度的方法
myMat = mat(loadExData3())
# print myMat
# 计算相似度的第一种方式
print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst))
# 计算相似度的第二种方式
print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst, simMeas=pearsSim))
# 默认推荐（菜馆菜肴推荐示例）
print(recommend(myMat, 2))

# 利用SVD提高推荐效果
U, Sigma, VT = la.svd(mat(loadExData2()))
print (Sigma)                 # 计算矩阵的SVD来了解其需要多少维的特征
Sig2 = Sigma**2             # 计算需要多少个奇异值能达到总能量的90%
print (sum(Sig2))             # 计算总能量
print (sum(Sig2) * 0.9)      # 计算总能量的90%
print (sum(Sig2[: 2]))        # 计算前两个元素所包含的能量
print (sum(Sig2[: 3]))        # 两个元素的能量值小于总能量的90%，于是计算前三个元素所包含的能量
# 该值高于总能量的90%，这就可以了



# 压缩图片
imgCompress(3)