斐波那契前 n 项和—矩阵快速幂—数学

大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。现在问题很简单，输入 n和 m，求 fn 的前 n 项和 Sn mod m。

输入格式

共一行，包含两个整数 n和 m。

输出格式

输出前 n项和 Sn mod m的值。

数据范围

1≤n≤2000000000,
1≤m≤1000000010

输入样例：

5 1000

输出样例：

12

难度： 中等

时/空限制： 1s / 64MB

总通过数： 4074

总尝试数： 6697

来源： 《信息学奥赛一本通》

矩阵乘法 快速幂

---

#include 
#define endl '\n'
#define int long long
using namespace std;
const int N = 3;//矩阵的大小
int n,m;
//矩阵乘法的实现即如图中的{fn,fn+1,Sn}*A;一维乘以二维
void mul(int c[], int a[], int b[][N]) {//a数组是一维，b数组是二维矩阵；
    int temp[N] = { 0 };
        for (int i = 0;i < N;i++) {
            for (int j = 0;j < N;j++) {
                temp[i] = (temp[i] + (int)a[j] * b[j][i]) % m;//结果第i项是一维第i项乘以二维第i列;
            }
        }
    memcpy(c, temp, sizeof temp);//传进来的指针和原先指针是有区别的，若sizeof(c)则是指针的长度；
}
//二维乘以二维,一维乘二维是双层循环，二维乘二维是三层循环
//矩阵相乘的口诀：第一个矩阵的第i行乘以第二个矩阵的第j列；
void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N]) {
    int temp[N][N] = { 0 };
    for (int i = 0;i < N;i++) {
        for (int j = 0;j < N;j++) {
            for (int k = 0;k < N;k++) {
                temp[i][j] = (temp[i][j] + (int)a[i][k] * b[k][j]) % m;
            }
        }
    }
    memcpy(c, temp, sizeof temp);
}
signed main() {
	ios_base::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
    //求Sn mod m
    cin >> n>>m;
    //初始状态f1={f1,f2,s1};
    int f1[3] = { 1,1,1 };
    //矩阵大小
    int a[3][3] = {
        {0,1,0},
        {1,1,1},
        {0,0,1}
    };
    n--;
    int res = 0;
    //求出f1*A^n-1;
    while (n) {
        if (n & 1) mul(f1, f1, a);
        //res=res*a;a是矩阵,第一个参数是递归结果，第二个参数是一维，第二个参数是二维矩阵；
        //这个函数的过程中将结果重新赋值给了f1了
        mul(a, a, a);//a的倍增；a=a*a;矩阵快速幂
        n >>= 1;
    }
    //由于f1计算结果是{fn,fn+1,Sn};
    cout << f1[2] << endl;
}