1303 斐波那契前 n 项和（矩阵乘法）

1. 问题描述：

大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。现在问题很简单，输入 n 和 m，求 fn 的前 n 项和 Snmodm。

输入格式

共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式

输出前 n 项和 Snmodm 的值。

数据范围

1 ≤ n ≤ 2000000000，
1 ≤ m ≤ 1000000010

输入样例：
5 1000
输出样例：
12
来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/1305/

2. 思路分析：

这道题目矩阵乘法的经典应用，矩阵乘法经常与快速幂结合在一起，难点在于将矩阵的前n项构造出来，因为这道题目需要求解的是前n项的和，所以可以将前n项和s放入到矩阵中，这样可以在矩阵乘法中计算出s，令Fn = [fn，fn+1，Sn]，Fn+1 = [fn+1，fn+2，Sn+1]，可以构造出对应的矩阵A，可以根据下面的式子计算矩阵乘法即可：

3. 代码如下：

from typing import List


class Solution:
    # 矩阵乘法满足结合律所以可以使用快速幂来解决
    # res = res * a
    def mul(self, n: int, mod: int, a: List[int], b: List[List[int]]):
        temp = [0] * n
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                temp[i] = (temp[i] + a[j] * b[j][i]) % mod
        # 将结果复制到原来的a中, a其实是f1
        for i in range(n):
            a[i] = temp[i]

    # a = a * a
    def mul2(self, n: int, mod: int, a: List[List[int]], b: List[List[int]]):
        temp = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                for k in range(n):
                    temp[i][j] = (temp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mod
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                a[i][j] = temp[i][j]

    def process(self):
        n, m = map(int, input().split())
        # 将前n项和存储到矩阵中, f1的第三个元素存储的是前n项的和
        f1 = [1, 1, 1]
        a = [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]]
        # 因为是从A1开始的所以计算的其实是A ^ (n - 1)
        n -= 1
        while n > 0:
            # res = res * a
            if n & 1:
                self.mul(3, m, f1, a)
            self.mul2(3, m, a, a)
            n >>= 1
        return f1[2]


if __name__ == '__main__':
    print(Solution().process())