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Problem/题意
Thought/思路
Code/代码
给一个 H * W 的矩形,在其中任意放置 K 个点,由这 K 个点构成的最小矩形带来的贡献为该矩形的面积,这 K 个点构成一种方案。
问面积的期望(总面积 / 总方案数)。
很容易发现,对于这个 H * W 的矩形而言,总方案数为:。也就是说,我们只需要求出总面积即可。
对于某个最小矩形,构成它的摆放方法有很多种,也就是说,如果我们能算出一个大小为 i * j 的矩形,他有 X 种合法的摆放方案,再用合法方案数乘上该矩形的面积(即 X * i * j),就是对应的贡献。
问题就在于如何求出一个大小为 i * j 的矩形有多少种合法摆法:应用容斥原理。
简单说一下容斥原理:合法方案 = 总方案 - 非法方案。对于几个集合,求他们的并集,就应用到容斥原理:加上奇数个集合的交集,减去偶数个集合的交集。
https://blog.csdn.net/Annabel_CM/article/details/110285940
对于一个 i * j 的矩形,很容易求出总方案数,那么问题就在于求出非法方案数。
先看非法情况下的矩形有:C1、C2、C3、C4
所以现在的目的就明确了,求出 C1、C2、C3、C4 的并集,得到非法方案数,再用 i * j 的总方案数减去非法方案数,就能算出合法方案数。
那么怎么求它们的并集呢?
上面的写法中,C0 代表总方案数,[ ] 里的内容就是非法方案数。我们对每一类交集举例说明:
(1)C1: 或
(2)C1 & C2:;
(3)C1 & C3:;
(4)C1 & C2 & C3:;
(5)C2 & C3 & C4:;
(6)C1 & C2 & C3 & C4:;
把上面手写的图片中的内容,用这 6 种情况依次替换,合并同类项,就能得到下列式子:
(cnt:就是组合数 C)
接下来还剩最后一个部分,对于我们上面求出来的一种矩形的的有效摆放方法,在 H * W 中又能摆在多少个位置呢?
只需要把 i、j 距离 H、W 的距离 + 1,然后相乘,就是 i * j 这个矩形能摆放的位置数:
(H - i + 1) * (W - j + 1)
位置数 * 矩形面积(i * j)* 合法方案数,就是一个矩形 i * j 带来的贡献,遍历 H、W,求出每一种(i,j)的贡献,累加,就是最后的总贡献。
#include "bits/stdc++.h"
#define int long long
const int mod = 998244353;
int h, w, k, fact[1000007], invf[1000007];
int ksm(int a, int b) {
int res = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = res * a % mod;
a = a * a % mod;
b /= 2;
}
return res;
}
int C(int x, int y) {
if (x < y) return 0;
return fact[x] * invf[y] % mod * invf[x - y] % mod;
}
signed main() {
std::cin >> h >> w >> k;
if (k == 1) {
std::cout << 1;
return 0;
}
fact[0] = 1;
invf[0] = ksm(fact[0], mod - 2);
for (int i = 1; i <= 1000005; ++ i) {
fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
invf[i] = ksm(fact[i], mod - 2) % mod;
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= h; ++ i) {
for (int j = 1; j <= w; ++ j) {
int cnt = 0;
for (int x = 0; x <= 2; ++ x) {
for (int y = 0; y <= 2; ++ y) {
cnt = (cnt + C((i - x) * (j - y), k) * (x == 1 ? -2 : 1) * (y == 1 ? -2 : 1) % mod + mod) % mod;
}
}
ans = (ans + i * j % mod * (h - i + 1) % mod * (w - j + 1) % mod * cnt % mod + mod) % mod;
}
}
std::cout << ans * ksm(C(h * w, k), mod - 2) % mod;
}