Polygon zkEVM是兼容EVM的zkRollup Layer 2 方案。zkEVM 证明的第一步是构建交易的执行路径 (execution trace)。trace 是一个矩阵，每一列有一个名字，对每一列进行多项式插值，将执行路径的正确性归纳为多项式之间的恒等关系，这称算术化（arithmetization）。状态机主要提供了EVM证明的算术化过程。
Fibonacci 示例
Fibonacci State Machine
对于给定初始条件Fibonacci 序列，可以用两个寄存器A 和 B 构建状态机，如下图：
状态机初始条件为 ， 并且有如下的关系：
将寄存器状态表示为多项式, 定义域在子群 ， 即的8次单位根上，关系如下：
状态机的关系可以转为多项式的恒等关系：
但这些等式无法完全约束，例如：
- 寄存器是非循环的，当在 计算等式关系的时候：
- 其它的初始条件也能满足恒等关系，例如 (2, 4)。
为了解决上述问题，可以添加一个辅助寄存器（C）:
此时 多项式 为：
新的多项式恒等关系为：
并且可以使用其它的初始条件, 修改多项式恒等关系为：
在上一个例子中，。
状态机证明
多项式承诺需要满足Binding 和 Hiding， 可以使用Kate 和 FRI 承诺。
Simple State Machine
首先展示一个简单状态机的算术化过程，如下图：
下列程序描述寄存器 A 和 B 接受输入的过程：
| Instruction |
|---|
| ${getInput()} => A |
| 3 => B |
| : ADD |
| 0 => A, B |
上面的程序由汇编语言实现，通过executor 读入，生成执行路径。上面的代码，汇编指令分别表示为：
- ${ getInput() } => A： 寻求自由输入，并保存在寄存器 A中。
- 3 => B. 将3移入寄存器B 中；
- ：ADD 将寄存器 A 和 B的值加起来，作为寄存器A 的输出；
- 0 => A, B 将0 移动到寄存器 A 和 B上。
例如，对于自由输入为7时，执行路径为：
其中 为 寄存器 的下一个状态， 其中
为了创建合适的算术化约束条件，需要添加辅助的状态和选择子（selectors）表示寄存器 和 的关系：
其中 ：
- : 选择子，表示是否包含 在线性组合中；
- : 选择子，表示是否将线性组合结果赋给;
- : 包含的自由输入
- ： 包含一些固定的值
在引入辅助变量之后，可以得到下面的扩展表：
寄存器状态的关系可以用如下代数关系表示：
将寄存器的状态表示为多项式 ， 定义域为子群上，
这个程序可以完全由常量多项式： , , , , 描述。
多项式 可以是公开的，或根据不同的初始条件 提前承诺。
程序的最终结果为
最后的指令重置寄存器的值到初始状态，形成一个循环。
条件语言跳转
下面引入指令 ，能够跳到指定的位置。在下面的程序中，当 值为0的时候， 将跳到 5 的位置：
当引入条件跳转的时候，根据不同的输入值，执行路径长度是不一样的，如下所示：
上面的执行是6步，下面的执行是5步。
管理条件跳转
需要引入 新模型管理程序的条件跳转：
需要添加程序计数器, PC是一种特殊的寄存器，包含程序指令的执行位置。
下面使用 作为以下线性组合的简写：
若 为0， 将会跳转到指令 位置，首先需要检查操作在 中是否为0.
为了检查 中的数是否为0， 需要使用新的方法：若, 则 必然有一个乘法逆元：
下面添加 检查约束条件：
可以将两个方程变成一个约束条件：
引入下面的机制处理跳转：
添加选择子 ， 通过下面的约束描述 的行为。
当输入分别为7和3的时候，执行路径分别为：
其中 用来表示 的逆。
目前，多项式是没有经过预处理的，因为表中的值不仅依赖自由输入，还需要验证正确的执行了程序。
证明正确的程序执行
为了检查执行了正确有的程序，我们提供一种指令常数值编码的方法，然后检查执行指令的编码确实在程序中指令的编码中。
假设采用4位符号整数（实际中为32位）进行编码指令中的常数值，如下所示：
去掉（8=-8）， 编码余下的值为：
然后约束：
等价于：
对示例程序指令编码后的结果为：
采用如下规则编码指令：
另外，需要检查 selectors 是二进制的， 是由4位组成， 即 .
对于, 指 , 表示没有使用常量。
为了证明程序，每个指令的编码和位置需要唯一识别，即：
可以唯一识别待验证的程序，如下所示：
采用 编码程序的路径:
那么要如何有效检查执行了正确的程序呢，可以采用Plookup 协议， 即：
若指令路径包含在ROM 程序中，则表示执行了实际的程序。
证明执行路径的恒等关系
总而言之，可以采用如下的恒等关系定义程序：
其中 定义如下：
还需要进行如下的 Plookup 检查：
相关的定义如下：
最后，还需要检查 selectors 是二进制的，即：
关于状态机中的多项式，需要承诺： , , , 和 .
是 唯一可能预处理的不变多项式。
模块化设计
分而治之
若要添加更多运算到状态机，例如乘法，可以添加列到状态机中，但这会导致设计更加复杂，且难以处理，可以采用分而治之的策略：
- zkEVM 架构 由不同的状态机相互连接组成；
- 每个状态机去证明指定的任务；
- 不同状态机相关的列可以使用包含证明 (plookup)。
下面通过一个32位算术运算的状态机和主状态机的包含证明展示这个过程。
算术状态机
算术状态机可以对32位元素执行加，减，乘，除的运算，使用如下5个寄存器：
可以用下多项式定义约束关系：
注意还需要检查 在 处的值为32 位。
我们将设计一种检查这些操作的机制：
使用 来标记需要检查 寄存器 之间的约束关系。 , , , , 和 是不变的，即它们不依赖输入。
列的值需要承诺， 依赖 , 也需要承诺。
因此算术状态机多项式恒等关系为：
下图展示了算术状态机的架构图：
扩展主状态机
对于主状态机，可以将其扩展到5 个寄存器，添加一个arith 标记，用来连接算术状态机。 当arith 为1 的时候，需要检查算术化操作。整个设计如下图所示：
下图展示如何连接主状态机和算术状态机，当arith 为1的时候，需要确何算术表中的latch 为1。
因此，需要保证如下的包含关系：
注： 使用 用来表示它包寄存器 的值。
通过使用 Plookup作为总线，可以连接主状态机和其它具体的状态机：
由此可以设计一个模块化虚拟状态机，并通过零知识证明进行验证。
参考
https://docs.hermez.io/zkEVM/Basic-Concepts/introduction/
https://polygon.technology/solutions/polygon-zkevm
https://docs.hermez.io/
https://github.com/0xPolygonHermez/
https://blog.polygon.technology/the-future-is-now-for-ethereum-scaling-introducing-polygon-zkevm/?utm_source=ticker&utm_medium=website&utm_campaign=organic
https://ethresear.ch/t/proof-of-efficiency-a-new-consensus-mechanism-for-zk-rollups/11988
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number