数据结构与算法（六）：堆

参考引用

• Hello 算法
• Github：hello-algo

1. 堆

• 堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为下图所示的两种类型
  • 小顶堆 min heap：任意节点的值 ≤ 其子节点的值
  • 大顶堆 max heap：任意节点的值 ≥ 其子节点的值

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满
• 将二叉树的根节点称为 “堆顶”，将底层最靠右的节点称为 “堆底”
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的

1.1 堆常用操作

• 堆通常用作实现优先队列（具有优先级排序的队列），大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列
  • 从使用角度来看，可以将 “优先队列” 和 “堆” 看作等价的数据结构

/* 初始化堆 */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap; // 初始化小顶堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap; // 初始化大顶堆

/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();

/* 输入列表并建堆 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());

1.2 堆的实现

• 以下实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 ≥ 替换为 ≤）

1.2.1 堆的存储于表示

• 完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，将采用数组来存储堆。当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现

• 如下图所示，给定索引 i，其左子节点索引为 2i+1，右子节点索引为 2i+2，父节点索引为 (i-1)/2（向下取整）

  • 当索引越界时，表示空节点或节点不存在

/* 获取左子节点索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下取整
}

1.2.2 访问堆顶元素

• 堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素

  int peek() {
      return maxHeap[0];
  }
  

1.2.3 元素入堆

• 给定元素 val，首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化（heapify）

• 考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化

  • 将节点 7 添加至堆底
  • 节点 5 ≤ 节点 7，则交换两节点
  • 节点 6 ≤ 节点 7，则交换两节点
  • 节点 9 > 节点 7，不执行交换

  堆化完成后，最大堆的性质得到修复

• 设节点总数为 n，则树的高度为 O(log n)
  • 则堆化操作的循环轮数最多为 O(log n)，元素入堆操作的时间复杂度为 O(log n)

  /* 元素入堆 */
  void push(int val) {
      // 添加节点
      maxHeap.push_back(val);
      // 从底至顶堆化
      siftUp(size() - 1);
  }
  
  /* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
  void siftUp(int i) {
      while (true) {
          // 获取节点 i 的父节点
          int p = parent(i);
          // 当 “越过根节点” 或 “节点无须修复” 时，结束堆化
          if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
              break;
          // 交换两节点
          swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
          // 循环向上堆化
          i = p;
      }
  }
  

1.2.4 堆顶元素出堆

• 堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，采用以下操作步骤
  • 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）
  • 将堆底从列表中删除（实际删除的是原来的堆顶元素）
  • 从根节点开始，从顶至底执行堆化
    • 在节点 5，8，7 中，节点 8 最大，则交换节点 5 与节点 8
    • 在节点 5，6，7 中，节点 7 最大，则交换节点 5 与节点 7
    • 在节点 5，3，6 中，节点 6 最大，则交换节点 5 与节点 6

  堆化完成后，最大堆的性质得到修复

/* 元素出堆 */
void pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty()) {
        throw out_of_range("堆为空");
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
    swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
    // 删除节点
    maxHeap.pop_back();
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

1.3 堆常见应用

• 优先队列
  • 堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(log n)
• 堆排序
  • 给定一组数据，可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据
• 获取最大的 k 个元素
  • 例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等

2. 建堆操作

• 使用一个列表的所有元素来构建一个堆的过程被称为 “建堆操作”

2.1 借助入堆操作实现

• 首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行 “入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行 “从底至顶” 堆化
  • 每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是 “自上而下” 构建的
  • 设元素数量为 n，每个元素的入堆操作使用 O(log n) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 O(nlog n)

2.2 通过遍历堆化实现

• 实际可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步

  • 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足
  • 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行 “从顶至底堆化”

• 每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是 “自下而上” 被构建的

  • 之所以选择倒序遍历，是因为能保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的

叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化

• 如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，从它开始倒序遍历并执行堆化

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

3. Top-K 问题

给定一个长度为 n 的无序数组 nums，请返回数组中前 k 大的元素

3.1 方法一：遍历选择

• 可进行下图所示的 k 轮遍历，分别在每轮中提取第 1、2、…、k 大的元素，时间复杂度为 O(nk)
  • 此方法只适用于 k 远小于 n 的情况，因为当 k 与 n 比较接近时，其时间复杂度趋向于 O(n^2)，非常耗时

3.2 方法二：排序

• 如下图所示，可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 k 个元素，时间复杂度为 O(nlog n)
  • 显然该方法 “超额” 完成任务了，因为只需要找出最大的 k 个元素即可，而不需要排序其他元素

3.3 方法三：堆

• 可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题
  • 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小
  • 先将数组的前 k 个元素依次入堆
  • 从第 k+1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆
  • 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 k 个元素

• 总共执行了 n 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 k，因此时间复杂度为 O(nlog k)。该方法的效率很高，当 k 较小时，时间复杂度趋向 O(n)；当 k 较大时，时间复杂度不会超过 O(nlog n)

该方法适用于动态数据流使用场景。在不断加入数据时，可以持续维护堆内的元素，从而实现最大个元素的动态更新

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.push(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.top()) {
            heap.pop();
            heap.push(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}