【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型（1，基本概念）

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引言

所谓二次型即所有项都是二次的多项式，当一个二次型只有平方项而没有交叉项时，该二次型称为标准二次型。

这是线代的最后一个章节了，也确实很久没看线代了，这一章就慢慢来写，中间再去看看概率论，后面的内容应该都是比较轻松的。

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一、二次型的基本概念及其标准型

1.1 基本概念

1. 二次型 —— 含 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 且每项都是 2 次的齐次多项式 $$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+\cdots +2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n,$$ 称为二次型，若令 $a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n)$ ，则二次型的矩阵形式为 $$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=X^{T}AX,$$ 其中 A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] , X = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] . \pmb{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix},\pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}. A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​ ​,X= ​x1​x2​⋮xn​​ ​.

2. 标准二次型 —— 只含有平方项而不含交叉项的二次型。

3. 二次型的标准化 —— 设 $f(X)=X^{T}AX$ 为一个二次型，经过可逆的线性变换 $X=PY$ ，即 $P$ 为可逆矩阵，把二次型 $f(X)$ 化为 $$f(X)=Y^T(P^{T}AP)Y=l_1{y}_1^2+l_2{y}_2^2+\cdots +l_m{y}_m^2,$$ 称为二次型的标准化。

任何一个二次型都可以表示为矩阵形式，且有 $A^T=A$ ，其中 $f(X)=X^{T}AX$ 为标准二次型的充要条件是 $A$ 为对角阵；为非标准二次型的充要条件是 $A$ 为对称但非对角矩阵。

二次型 $f(X)=X^{T}AX$ 标准化的过程即为实对称矩阵 $A$ 对角化的过程，其必须遵循两点原则：

1. 线性变换 $X=PY$ 中的 $P$ 必须为可逆矩阵；
2. $P^{T}AP$ 为对角阵。

惯性定理：二次型的标准型不唯一，但标准型中的正负系数的个数是确定的。

4. 规范二次型 —— 系数为 1 和 -1 的标准型称为二次型的规范性。

5. 可逆的坐标变换 —— 令 X = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , Y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] , P = [ p 11 p 12 ⋯ p 1 n p 21 p 22 ⋯ p 2 n ⋮ ⋮ ⋮ p n 1 p n 2 ⋯ p n n ] \pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\pmb{Y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix},\pmb{P}=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix} X= ​x1​x2​⋮xn​​ ​,Y= ​y1​y2​⋮yn​​ ​,P= ​p11​p21​⋮pn1​​p12​p22​⋮pn2​​⋯⋯⋯​p1n​p2n​⋮pnn​​ ​，若 $|P|\ne 0$ ，称 $\{\begin{array}{l}{x}_1=p_{11}{y}_1+p_{12}{y}_2+\cdots +p_{1n}{y}_n\\ x_2=p_{21}{y}_1+p_{22}{y}_2+\cdots +p_{2n}{y}_n\\ ⋮\\ x_n=p_{n1}{y}_1+p_{n2}{y}_2+\cdots +p_{nn}{y}_n\end{array}$ 为由 $X$ 到 $Y$ 的可逆坐标变换。

6. 矩阵合同 —— 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{T}AP=B$ ，称矩阵 $A,B$ 合同，记为 $A\simeq B$ 。

经过可逆线性变换的二次型的矩阵与原矩阵合同，即经过可逆的线性变换 $X=PY$ ，把二次型 $f(X)$ 化为 $f(X)=Y^T(P^{T}AP)Y$ ，显然 $P^{T}AP$ 与原矩阵 $A$ 合同。

矩阵合同有如下性质：

1. （反身性）$A\simeq A$ ；
2. （对称性）若 $A\simeq B$ ，则 $B\simeq A$ ；
3. （传递性）若 $A\simeq B,A\simeq C$ ，则 $B\simeq C$ 。

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写在最后

果然太久没看了线代了吗，光这些个基本概念我就晕乎乎的了。最后讲到了合同，我想先停一下，出一期三大关系的文章，顺便复习一下前面的内容。