复分析理论---如何形象理解平均值公式和最大模原理

导语

emmm这次讨论的话题如题，哎向其上次的作业怎么都还没写完，不管啦反正作业什么的都是浮云~

平均值定理（解析函数版）

要说这个定理呢，其实有的书上也叫他平均值公式，也有叫它平均值性质，Whatever，我们这里就叫他平均值定理好了。

并且还有两个不同版本的平均值定理（但他们其实说的都是同一件事），然后这里我们介绍的以解析函数来介绍平均值定理。

我们先给出书上的原始定义，然后再把数学语言转化为通俗易懂的话或者是图像：

若 f(z) 在 |ζ−z0|<R 内解析，在 |ζ−z0|≤R 上连续，则

f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiφ)dφ

如果你是第一次看见这个公式的话，哎有爆粗的冲动也是可以理解，接下来我们开始对这个则后面的结论进行分析。

• 首先是 f(z0) 我们应该如何理解？
  对于其中的 z0 我们是可以理解为一个 (x,y) 的，因为 z0=x+iy 嘛。那么 f 这个东西相当于输入了一个(x,,y)然后返回了一个 (x′,y′) [因为返回出来的东西也可能是一个复数]，但是为了理解更形象，我们假设， f(z0) 是可以被画到一个叫做 f 的坐标上的。

为什么要这样假设呢？因为这样一来，我们就建立了一个酱紫的标架(暂且忽略掉图中的曲线)：

那么，我们继续来看公式右边的函数f中的 z0+Reiφ ，这又是个啥？

在积分符号中 φ 的取值时从0到 2π 的，所以这个其实表示的是以 z0 为圆心，以R为半径的一个圆周上的所有点。

该函数将这些点从我们的 x−y 平面映射到 f 轴上去（再次说明其实f轴也是复数的，即也是一个复平面，这里是为了简化。。。）

好的，那么如果大家能够接受我个人做的这个不成熟的假设的话，那么应该能够理解为什么会有刚才那张图了吧。即不同位置的圆周上的点对应不同高度的 f 坐标：

然后将这些高度进行积分之后得到的即为侧面的面积，除以2π得到的东西就是平均每单位弧长所对应的面积，并认为这个面积就是该圆心 z0 所对应的函数值 f(z0)

所以说，其实，还不算太抽象吧，这就是平均值公式。

最大模原理

就是对于在区域D解析的函数 f 来说，除非f是常数，否则 f 的最值不可能在区域D的内部取到。

为啥呢，因为你想，假设有一个z0在区域D的内部取到了最大值，我们知道解析函数是满足平均值原理的呀，现在我们在 z0 的周围找到一个圆周（这个圆周当然得属于D），那么我们就会发现这个时候就可以通过这个圆周上面的值来计算 f(z0) 了，但是我们不要忘记 f(z0) 是这圆周的高度的算术平均，所以说圆周上的最大值一定会大于 f(z0) ，而圆周上的最小值一定会小于 f(z0) ，所以 f(z0) 绝对不可能是最值。就产生矛盾了，所以说就有了最大模原理。