《漫画傅里叶解析》笔记（1）

  《漫画傅里叶解析》作者 涉谷道雄

序章 声波

  以香水为例，用来分析组成成分和含量的数学方法就是傅里叶解析。换成声音，就能明白组成声调的因素。用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶解析。
  傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。
  而且如果知道了成分，那么，根据各种成分就能制作出某种特定的声音。合成器运用的就是这个原理。效应器是通过改变成分而改变声音的特征。

第1章 通往傅里叶变换的道路

一、 声音与频率

1. 声音是通过改变对空气的压力，以波的形式传播的。这个压力的变化叫声压。横轴表示时间，纵轴表示声压，将声音图形化。
2. 1秒内一个相邻的波峰和波谷的波形往返重复的次数就叫做频率，单位为Hz（赫兹）。
   “拉”音=440Hz 。不同的倍数得到不同声调的“拉”。“拉”音=440Hz 。不同的倍数得到不同声调的“拉”。
   收音机中使用的叫广播频率，例如630kHz的电波，就表示1秒内电波振动了63万次。
3. 复杂的波形其实由简单的波形合成得到。
   构成复杂波形的简单波形叫做频率成分。
4. 将各个合成频率成分及其强度用图形表示，可以得到频率谱，简称谱。
5. 明白了频率谱就能明白声音的基本组成成分了。这就是傅里叶变换，是从波形中得到频率谱的方法。反过来，也可从频率谱得到波形，这叫傅里叶逆变换。
6. 用傅里叶变换研究频率谱的特征的方法，叫做傅里叶解析。
   
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二、 横波与纵波

1. 在电磁波中，电场和磁场的强度随时间变化，且它们的方向与波的传播方向垂直，这样的波叫横波。
2. 声音是利用空气的振动，使空气的密度变高变低来传播的，波的传播方向与振动方向相同的波叫做纵波。
3. 具有纵波性质的波，需要传递密度的变化，因此需要媒介，不能在真空中传播。纵波，在传播方向上使媒介的密度变高变低，因此也叫疏密波，用密度的变化把疏密波图形化，可以得到与横波相同的图形。
4. 除声音外，以波的形式传播的还有电波和光，声波、电波和光波都可以用波的图形来形容。声波、电波和光波—这些用眼睛看不到的波，可以用检测器转换为电信号来观察。
5. 不论横波还是纵波，都可以用正弦函数sin 表示。

三、波的时间变化

1. 看波纹传播的情况，可以发现波峰和波谷交替前进，而水面的某一点也在上下运动，相互保持独立。
2. 简单波形的合成，用来研究其中的频率和强度的数学方法，就叫傅里叶变换。

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四、频率与振幅

1. 振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度叫周期。频率在波形中就是1秒钟有多少个周期。
2. 振幅对应声音的强弱，振幅小的情况下对应的音量也小。

3. 频率增加，音调变高，变成高音。频率增加，音调变高，变成高音。
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4. 从复杂波形中求出频率谱的方法就叫傅里叶变换。
5. 看周期最大的波，它的频率被叫做基本频率。最大的波周期，叫基本周期。

6. 傅里叶变换步骤：复杂波形 求频率成分 不同强度组合起来合成一个波形 （频率-强度 –谱 ）

   
   
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五、 约瑟夫▪傅里叶的发现

1. 傅里叶变换是1812年法国数学家约瑟夫-傅里叶（1768-1830），从研究“热的传导法则”的问题时开始用到的。
2. 热的传导是指热量在物体中传递的情况，是受各种因素影响的复杂现象，不过，傅里叶的发现：再复杂的现象也是由简单的现象组合在一起而形成的。
3. 实际上，当时傅里叶也没有想到波和频率普的应用，不过，后来傅里叶的发现随着“研究波的性质的数学方法”的进展而普及开来。
4. 不过，计算大自然中存在的复杂波形实在太麻烦。这时1965年快速傅里叶变换FFT（Fast Fourier Transform）方法被提出来了。FFT是利用三角函数的基本性质的组合，一种高效的傅里叶变换。傅里叶变换随着FFT和计算机的普及很快在物理、工学等领域应用开来。
5. 光、电波转变为电信号后能被检测出来，这样，在能检测到信号的许多领域都能应用傅里叶变换。如从声音信号中分出有用信号和杂音，只传递有用信号。

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六、 傅里叶变换的数学准备

1. Sin cos 三角函数；
2. 函数的切线（倾斜）；
3. 积分（原函数）；
4. 定积分（面积、体积）；
5. 不定积分；
6. 函数的四则运算；
7. 函数的积及其定积分；
8. 函数的正交；
9. 正交函数为基础的函数合成；
10. 傅里叶级数；
11. 傅里叶变换。