【LeetCode 算法专题突破】二分查找（⭐）

前言

我刷过不少算法题目，也得过算法竞赛的奖状，但是并没有成体系的总结，或者说学习算法的类型，所以我决定把常见的算法进行一次归类，然后总结每个经典类型的算法的知识重点，加强算法能力，完善算法体系，也希望能对你有所帮助~

1. 二分经典模板题目

力扣链接：https://leetcode.cn/problems/binary-search/

题目描述

这道题目是一道非常经典的二分查找的模板题，可以说，所有二分算法入门都离不开这道题目，题目的要求很简单，就是从一段有序的数组中查找 target 值。

代码：

func search(nums []int, target int) int {
    left, right := 0, len(nums)-1
    for left <= right {
        mid := left+(right-left)/2
        if nums[mid] < target {
            left = mid+1
        } else if nums[mid] > target {
            right = mid-1
        } else {
            return mid 
        }
    }
    return -1
}

我的习惯是每做完一道题目，要能从题目中学习到一些什么，也许是熟练度，也许是对这个算法的理解加深了，那做完这道题目我学到了什么？

我加深了对二分查找排除区间的理解：

当 mid 位置的值小于 target（nums[mid] < target ），证明左半边的区间，包括 mid 位置，不可能存在 target 值，所以左区间 left = mid+1；

当 mid 位置的值大于 target（nums[mid] > target），证明右半边的区间，包括 mid 位置，不可能存在 target 值，所以右区间 right = mid-1；

当 mid 位置等于 target，那当然就证明找到了，可以 return 了。

我个人认为这道题目的核心思想，或者说二分的一个思想，就体现在这里

2. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

现在你已经学会二分了，来一道变式题试试吧~

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/

题目描述

这道题的难点其实就是怎么求到 target 值的起点和终点，那我们只需要用两次二分查找，分别查找他的起点和终点就行啦

代码

func searchRange(nums []int, target int) []int {
    left, right, begin, end := 0, len(nums)-1, -1, -1
    // 求左区间
    for left <= right {
        mid := left+(right-left)/2
        if nums[mid] > target {
            right = mid-1
        } else if nums[mid] < target {
            left = mid+1
        } else {
            begin = mid
            right--
        }
    }
    // 恢复 left 和 right
    left, right = 0, len(nums)-1
    // 求右区间
    for left <= right {
        mid := left+(right-left)/2
        if nums[mid] > target {
            right = mid-1
        } else if nums[mid] < target {
            left = mid+1
        } else {
            end = mid
            left++
        }
    }
    return []int{begin, end}
}

这道题目的二分查找使用的方法和模板题是一模一样的，但是为了找到左右区间，我们在遇到 nums[mid] == target 情况，稍微进行了一些调整：

在找左区间的时候，我们记录下 begin 之后，让 right–，这样 mid 的位置也会不断向左，直到 nums[mid] != target，这样 begin 的值就是左区间

在找右区间的时候，我们记录下 end 之后，让 left++，这样 mid 的位置也会不断向右，直到 nums[mid] != target，这样 end 的值就是右区间

3. 有效的完全平方数

现在你已经学会在有序数组中使用二分查找了，那，如果题目没有给你有序数组，也没有提示你时间复杂度要求呢？作为一个算法菜鸟，我的办法就是：多刷题，见多识广（说人话：你刷过类似的题目不就会做了）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/valid-perfect-square/description/

题目描述

抛开题目不谈，如果要你来求完全平方数，你会怎么做？那肯定是用原数折半之后乘一下看看对不对的上，对不上就继续折半，为什么这样做？因为这样效率很高~ 既然如此，那我们为什么不用二分做来试试

代码

func isPerfectSquare(num int) bool {
    left, right := 0, num
    for left <= right {
        mid := left+(right-left)/2
        sqrt := mid*mid
        if sqrt < num {
            left = mid+1
        } else if sqrt > num {
            right = mid-1
        } else {
            return true
        }
    }
    return false
}

咱也没有细想代码的细节，就是简单的把二分算法套进了这个场景，现在来看，以后如果遇到类似的问题，也可以用二分~

4. 寻找峰值

那接下来咱们就多刷一点题目，看看哪里还能用二分查找算法，增加我们的二分熟练度和能力~

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-peak-element/

题目描述

这道题我们连 target 值都没有，他甚至也不是一个有序的序列，我们能用二分算法来做吗？来看看代码

代码

func findPeakElement(nums []int) int {
    left, right := 0, len(nums)-1
    for left < right {
        mid := left+(right-left)/2
        if nums[mid] < nums[mid+1] {
            left = mid+1
        } else if nums[mid] > nums[mid+1] {
            right = mid
        }
    }
    return right
}

乍一看，我们好像无从下手，那就慢慢分析，看看该怎么解决。

题目要求我们要查找数组中任意一个峰值，那我们可以怎么找到峰值呢？我们可以分析到，其实这个数组无非就分为连个区间，一个是递增区间，一个是递减区间，而峰值就是两个区间交替的标志

假设我们随机找一个点，如果他比右边位置的值小，那就证明他在一个递增的区间；如果他比右边的位置的值大，那就证明他在一个递减的区间

通过这个性质，我们使用二分算法，当 nums[mid] < nums[mid+1] 时，在一个递增的区间，山顶必定在 mid+1 以及之后的位置；当 nums[mid] > nums[mid+1] 时，在一个递减的区间，山顶则可能在 mid 或者是之前的位置（这里要注意了，山顶有可能就是 mid 位置）

所以 right = mid，而不需要 -1 的操作。也因为这里不需要 -1，当 left == right 的时候，如果我们已经找到山顶了，那该怎么跳出循环？

这里我们可以选择特判一下，也可以把循环条件改成 left < right。有些时候，模板也不是一定要定死的，我们是可以根据实际情况进行调整的。这也我们做完这道题目学到的东西，又或者说积累到的经验。

5. 寻找旋转排序数组中的最小值

咱们继续来做一些不同场景下的二分的应用~

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

题目描述

这道题目的解题思路其实和上一道题类似，我们要根据题目给的条件，找到一个能够比较的参照物，或者说一个参照系。来看代码

代码

func findMin(nums []int) int {
    n := len(nums)-1
    left, right := 0, n
    for left < right {
        mid := left+(right-left)/2
        if nums[mid] > nums[n] {
            left = mid+1
        } else if nums[mid] < nums[n] {
            right = mid
        }
    }
    return nums[left]
}

我们还是从题目条件出发，题目给出的是一个旋转过的升序数组，你发现，这又不是一个有序的数组，这该咋用二分来解呢？

分析一下，有序数组旋转之后，他会分成两个递增的区间，一个区间大，一个区间小，我们可以拿区间的最大值作为参照物

举个例子，这个数组最右边的值，他只有两种可能，1. 是小区间的最大值，2. 大区间的最大值（这种情况下，这个数组就是没有旋转过的情况，那我们可以先忽略特殊情况（这算是我的一点做题的技巧，因为特殊情况可以到时候想着怎么特判））

题目要求我们找到最小元素，也就是我们只需要找到小区间，再在小区间找到区间内最小元素即可，那就：

当 nums[mid] > nums[n] 时，mid 位置大于小区间的最大值，证明 mid 位置在大区间，所以让 left = mid+1；
当 nums[mid] < nums[n] 时，mid 位置小于小区间的最大值，证明 mid 位置在小区间，所以让 right = mid；因为我们要找的值就在小区间，所以不能 -1

然后我们在模拟一下特殊情况，当 nums[mid] < nums[n] 时，n 位置是大区间的最大值，让 right = mid 会导致最后的出现 left = right 的情况，那我们就把循环的条件调整为：left < right

又是一道变式的二分题目，其实我们只要分析出，以什么作为参照系来排除区间的位置，那之后的工作就很容易了~

6. 点名

那咱们就趁热打铁，再来最后一道，增强一下信心，以后二分题目就不用愁啦~

题目链接：https://leetcode.cn/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/

题目描述

这道题我其实一开始也想不出来，选这道题的目的其实也是想说明，算法积累的重要性，见多识广，才能思路开阔，临危不乱。来看代码：

代码

func takeAttendance(records []int) int {
    left, right := 0, len(records)-1
    for left < right {
        mid := left+(right-left)/2
        if records[mid] == mid {
            left = mid+1
        } else {
            right = mid
        }
    }
    if records[right] == right {
        return right+1
    }
    return right
}

分析题目我们看到，数组是从 0 开始一个升序数组，所以我们可以发现，数组中的数字是和下标是一一对应的，但是缺失了数字之后，数组的数就会比下标大，这样，我们又能将这个数组分为两个区间

我们画个图来看，会更加的清晰：

正常的区间是一一对应的，而失去数字的区间都是对不上的，如果对的上，也就是 records[mid] == mid，就让 left = mid+1；如果对不上，就让 right = mid，因为答案可能就在这个区间

现在就只剩下一个特殊情况了，如果消失的是最后一个数呢？那我们就最后特判一下就行

总结

相信你刷完这六道题目之后，二分已经不在话下了~

再接再厉，去迎接新的挑战吧~

如果哪天对二分又不熟悉了，也可以回来再刷一刷，练练手感~

最后，祝你今后刷题愉快~