数学术语之源——代数——群同态的“核(kernel)”

1.  “kernel”这个术语在群论中的起源

Ivar Fredholm 在 1903 年的第27期Acta Math 数学学报发表的一篇关于“积分方程(INTEGRAL EQUATIONS)”的著名论文(“关于一类函数方程(Sur une classe des équations fonctionnelles)”)中使用了法语“noyau(核)”(365-390页)。

David Hilbert在他的<<线性积分方程一般理论原理>>(Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen)(Nachrichten von d) 中将其翻译成德语，称为“Kern”(Nachrichten von d. Königl. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen (Math.-physik. Kl.)(1904年) 第49页)。

在英语中，“kernel”在数学中作为术语最早出现在M. Bôcher的著作<<积分方程研究导论>>(Introduction to the Study of Integral Equations)一书中(1909年)，书中将其描述为“K is called the kernel of these equations(称K为这些积分方程的核)”(引自牛津英语词典)。参见 G. Birkhoff 和 E. Kreyszig (1984)“泛函分析的建立”，Historia Mathematica, 11,258-321。

到 A. Zygmund 的三角级数 (1935) 时代，“kernel”已成为Fourier分析中的一个既定术语。通过JSTOR 搜索发现，在 Charles N. Moore 的“On the Application of Borel's Method to the Sumation of Fourier's Series”中发现了“Fejér 核”和“Dirichlet 核”(Proceedings of the National Academy, 11, (1925), 284-287)，但这不太可能是这些术语的首次公开使用。

“kernel”使用Fourier理论进入统计学，描述谱密度和概率密度函数的估计。 JSTOR 搜索发现，E. F. Schuster(数学统计年鉴，40，(1969年)，第 1187 页)指的是“所谓的核估计类”，由 M. Rosenblatt 在“关于密度函数的一些非参数估计的评述”中引入的(Annals of Mathematical Statistics，27，（1956年），第832-837页)。早期的“Fejér kernel”曾用于 U. Grenander 和 M.Rosenblatt 的“平稳随机过程产生的时间序列的统计谱分析(Statistical Spectral Analysis of Time Series Arising from Stationary Stochastic Processes)”，Annals of Mathematical Statistics，24，（1953年），第537-558页。另一个在时间序列分析中特别流行的术语是“window”。另见“Fejér kernel”。

“kernel”在代数中的使用似乎与其在积分方程和Fourier分析中的使用无关。 L. Pontrjagin 于 1931 年在《数学》杂志的论文“Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze”的第 102 页上使用了该术语。年鉴 105。《牛津英语词典》引用了Pontrjagin的<<拓扑群 i.11>>( Topological Groups)中的以下内容(由 E. Lehmer 1946年翻译）“在同态 g 下被映射到群 G* 的玄元上的群 G 的所有元素的集合称为该同态的核。”

G. D. Birkhoff 和 S. A. MacLane <<现代代数综述>>( A Survey of Modern Algebra)第 3 版 1965 年，第 213-214 页将同态和核的概念应用于被视为加法下Abel群的向量空间之间的线性变换 T 。 他们评论说：“由于 O 是群的玄元，因此 T 的零空间正是被视为群同态的 T 的核。” 请参阅条目 NULL SPACE。

2.  “kernel”这个术语在群论中的含义

从上面第1点可以看出，“kernel”这个术语在数学的多个分支都有使用，至少在积分方程、Fourier分析、群论中都有作为术语使用。但就这个术语的确切含义，只有放到具体的数学分支中的知识点上才能说明。或许，当初引入这个术语的作者认为这个特征比较核心，因此用这个词描述。比如在Fourier分析中，“核”指的是在某个范围内的积分恒为1。

关于核在代数群论中的含义，引用Michael Artin 在他的书中的说明，或许能导出“核”在群论中的含义。书中说，“核非常重要，原因在于它控制着整个同态。它不仅告知了我们G 中的哪些元素被映射到G’的幺元，而且还告知了我们G中的哪些元素对在G’中具有相同的像。” 这或许就是当初群论中引入术语“核”来描述这一数学现象的原因。

参考资料：

1. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (K)

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (K)

更多术语：

https://web.archive.org/web/20170612233228/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html

2.   <> Michael Artin, 2th