408复习笔记（一）：经典数据结构和算法PART1（线性表、栈和队列、数组和特殊矩阵、串、树）

提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

---

前言

利用暑假时间快速复习一下408~
本文记录需要熟练掌握的数据结构和算法。主要目的是了解算法的思想，对于实现暂时不做要求。

一、线性表

①定义：线性表是具有相同数据类型的n个元素的有限序列。除第一个元素外，每个元素有且仅有一个直接前驱；除最后一个元素外，每个元素有且仅有一个直接后继。
②实现：顺序表（数组）、链表（单链表、双链表、循环链表、静态链表）

1.单链表

struct LinkNode{
ElemType data; //值
LinkNode *next; //指向下一个节点的指针
};

2.双链表

struct DoubleLinkNode{
ElemType data; //值
LinkNode *next; //指向下一个节点的指针
LinkNode *prior；//指向上一个节点的指针
};

3.循环链表

最后一个结点的next指针不指向NULL，而指向头结点（头结点没有数据）

4.静态链表

借助数组实现的链式存储结构，结点也是data域和next域，指针是数组下标（也称游标）。
struct StaticLinkNode{
ElemType data;//值
int next;//下标
}
StaticLinkNode StaticLink[MaxSize];

二、操作受限的线性表——栈和队列

栈只允许在一端进行插入和删除（后进先出）；队列只允许在表的一端插入，在另一端删除（先进先出）。

1.顺序栈

只在数组末尾进行插入和删除

2.链栈

只在链表的头结点后进行插入和删除

3.共享栈

两个顺序栈共享一个一位数组空间，两个栈底分别在数组左右，插入和删除时向数组中间延伸。

4.队列的顺序存储

队首在index=0处，队尾在后面；
两个指针front和rear分别指向队首元素和队尾元素的下一个元素(不重要定义罢了），出队和入队指针都需要+1
可能会出现假溢出的情况，因此引入循环队列。

5.循环队列

对于出队和入队指针移动时+1并%MaxSize

6.链式队列

一个同时带有队首指针和队尾指针的单链表

7.双端队列、输入受限的双端队列、输出受限的双端队列

双端队列是指两端都可以进行进出操作的队列，
如果一端可以进出，但另一端限制只能进or出，就形成输出受限的双端队列or输入受限的双端队列

8.应用

①栈的应用：递归（可以借助栈将递归算法转为非递归算法）、括号匹配、表达式求值
②队列的应用：树的层次遍历（根结点进队后，出一个结点，其全部孩子进队，再出再进，直至队空）；计算机系统中的应用（作业调度先进先出）

7.23更新==

三、数组和特殊矩阵

特殊矩阵可以用数组来进行压缩存储

1.对称矩阵

aij=aji，存储时只存下三角（含主对角线元素）

2.三角矩阵

包括上三角矩阵和下三角矩阵，只有一半有元素需要存储，剩下一半是常量

3.三对角矩阵（带状矩阵）

所有非零元素集中在主对角线为中心的三条对角线区域，其他区域元素均为0，带状区域按行从上到下依次存入数组。

4.稀疏矩阵

矩阵中非零元素个数<<矩阵元素个数
可以用三元组（i，j，value）或十字链表法存储

=7.24更新=

四、KMP算法（字符串模式匹配，即s2在s1中首次出现的位置）

1.求next数组

①先给每个元素从1开始标号，这个标号可以唯一标志它，这很关键！
②设next（1）=0，next（2）=1,形成标号、元素、next的三层表格
③对于下一个元素，不断比较其前一个元素与前一个元素的next值指向的元素（指向编号，不断向前），直到两个元素相等或后者next值等于0（即已经向前到第一个元素），如果一次比较就成功，next值为前者的next值＋1，否则next值为后者的next值＋1
例如：
对于下一个元素【7】，
比较其前一个元素【6】与【6】的next值（next[6]=3）指向的元素【3】，【3】=a，【6】=c，不等，继续比较；
第一个元素【6】不变，第二个元素变为【3】的next值（next[3]=1）指向的元素【1】，【1】=a，【6】=c，不等，但已经到了第一个元素，即next[1]已经等于0；
next值为后者的next值＋1，即next[7]=next[1]+1=1

下面介绍一个手工求next数组的方法，更快，适用于长字符串：
依次求出从头到每个元素为止的字符串的最长相等前后缀长度（求出所有前缀集合和所有后缀集合，交集的长度就为最长相等前后缀长度，也可以用观察法，开头左到右和末尾左到右相等的最大字符串的长度，注意都是顺序的），然后整体右移一位，低位用-1填充，就可以得到next数组
例如

2.KMP算法

关键点在于，
①当匹配过程中发生失配时，主串指针i不动，模式字符串中的指针j移到next【j】位置继续匹配
②当指针j为0时，与匹配成功的情况一样，指针i和j同时加一

7.25更新=

五、树

1.二叉树的性质

①n0 = n2 + 1（重）
②第i层最多 2^(i-1) 个结点
③高度为h 最多 2^h -1 个结点

2.存储结构与二叉树的遍历

①顺序存储（完全二叉树或者满二叉树比较合适，因为根据下标就可以定位位置）
②链式存储（left、right、root）
**遍历方法：**先序、中序、后序、层次
由二叉树的先序序列和中序序列、后和中、层序和中序可以唯一确定一个二叉树：

3.遍历生成线索二叉树

根据一定的遍历规则对二叉树进行遍历时，如果遇到空的指针，就指向此次遍历的前驱或后继结点（左孩子指向前驱，右孩子指向后继）。
线索是遍历中前驱结点和后续节点的指针，他不浪费多余的空间，只是合理利用原先的空指针。
引入线索二叉树的目的是加快查找结点前驱或后继的速度。

4.几种特殊的二叉树

①满二叉树：树中每层都含有最多的结点
②完全二叉树：满二叉树从最后一层右边往左删掉部分结点
③二叉排序树（二叉搜索树）：左子树结点值都小于根结点值，右子树结点值都大于根结点值
④平衡二叉树：在构造二叉排序树的同时进行调整，使树上任一结点的左子树和右子树高度之差不超过1

====7.26更新

5.平衡二叉树（AVL树）的构造

1）定义

①定义：左子树和右子树高度之差的绝对值不超过1；
②平衡因子：结点的左子树高度-右子树高度称为该结点的平衡因子（平衡二叉树的平衡因子只能是0、-1、1）。若子树为空，高度记为0.叶子结点的平衡因子一定为0
③为什么是AVL？
二叉搜索（排序）树一定程度上可以提高搜索效率，但是当原序列有序时，依据此序列构造的二叉搜索树为右斜树或者左斜树，同时二叉树退化成单链表，搜索效率降低为 O(n)。
二叉搜索树的查找效率取决于树的高度，因此保持树的高度最小，即可保证树的查找效率。因此就有了AVL树。

2）插入时如何调整

①找到插入节点后导致不平衡的最小子树的根：找距离插入节点最近的一个、平衡因子绝对值大于一的结点
②对该最小子树（只能有3个结点，一般都是根＋儿子＋孙子）进行平衡调整：
LL型——R （不平衡根的左孩子的左孩子导致不平衡，整体右转
RR型——L （不平衡根的右孩子的右孩子导致不平衡，整体左转
LR型——LR （不平衡根的左孩子的右孩子导致不平衡，先两个孩子左转，成为LL型，然后整体右转）
RL型——RL（不平衡根的右孩子的左孩子导致不平衡，先两个孩子右转，成为RR型，然后整体左转）
③整理一下，继续插入下一个结点

3）删除时如何调整

①叶子结点直接删除
②被删结点只有左or右子树，孩子顶上
③被删结点左右子树都有：找右子树的最左结点（建议）或左子树的最右节点提上去
（原理：也就是中序遍历的前驱或后继元素）

4）例子

【二叉平衡树AVL平衡调整数据结构-哔哩哔哩】 https://b23.tv/RkSwYB0 空降11:27

6.哈夫曼树的构造

1）定义

①哈夫曼树（最优二叉树）：给定若干带权结点，使他们作为叶节点，构成带权路径长度最短的二叉树。
②结点的带权路径长度：从根到该结点的路径长度与该结点权值的乘积
③树的带权路径长度：各叶子结点的带权路径长度之和

2）构造

①寻找集合T中权值最小的两个节点；
②使用两个权值最小的节点构建新的节点加入集合T，新节点权值为两个结点权值之和，删除①中的两个结点
③重复①②直至集合T为空

3）应用

哈夫曼树可用来构造最优编码，用于信息传输，数据压缩等方面。
如下图所示，将字符作为叶子结点，将其出现的频率作为权重，构造哈夫曼树，就能使出现次数多的字符编码短：

7.树、森林与二叉树的转换

1）树转为二叉树

转化后，某结点的左孩子是其原长子，右孩子是其原右邻兄弟（也就是说，转化后的根结点一定没有右孩子）
①树中所有相邻兄弟间加一条连线
②每个结点只保留和长子的连线，删除和其他孩子的连线
③以跟结点为中心顺时针旋转45°

2）森林转为二叉树

①森林中每棵树都转化为二叉树
②从第2个二叉树开始，依次把根结点作为前一棵树根的右孩子结点

3）二叉树转为树

每个结点的左孩子不变，右孩子还原成他的右兄弟结点

4）二叉树转为森林

①抹掉二叉树根结点右链上的所有“父节点-右孩子”关系，得到若干二叉树
②将二叉树还原为树

8.红黑树

1）红黑树和平衡二叉树的区别：

https://blog.csdn.net/weixin_44780082/article/details/112239269

2）红黑树和b树的区别：

①策略不一样，红黑树属于内排序，b树属于外排序，它们复杂度相同或者相近的排序方法虽然有很多种，但是这些排序方法依然是不同的排序算法；
②黑树是二叉树的变种， b树一个节点代表数据的集合或者范围；
③从应用层面看，红黑树适合小数据范围内的快速查找，然而b树适合大范围数据查找

7.27更新==

9.并查集

1）定义

并查集是一种简单的集合表示，一个树表示一个子集，森林表示所有子集的集合。他可以支持查（查找任一个元素的祖先（即根结点））和并（这里指求不相交的集合的并集，将两棵子树合并，一棵子树的根结点变为另一颗子树的孩子）两种操作。

2）并查集的数组存储（逻辑上是树的结构）

①并查集通常用数组存储，每个元素的下标就是结点编号，而元素的值有不同的含义。树的根结点元素对应的值一般是负数，其绝对值代表这棵树的结点个数；其他节点元素对应的值代表森林中这棵子树的编号（兄弟间编号是相同的）。如：

第一棵树，结点0为根，data【0】=-4，代表0是根结点且此树中有四个元素；date【6】、date【7】、date【8】都是0，表示其根结点下标是0.
第二棵树，结点1为根，data【1】=-3，代表1是根结点且此树中有三个元素；date【4】、date【9】都是1，表示其根结点下标是1.
第三棵树，结点2为根，data【2】=-3，代表2是根结点且此树中有三个元素；date【3】、date【5】都是2，表示其根结点下标是2.

②初始化时，将所有值设置为-1，即将集合S中的n个元素初始化为n个只有一个元素的集合。如：

#define SIZE 100
int UFSets[SIZE];

void Initial(int S[]){
	for(int i = 0; i < size; i++){
		S[i] = -1; //每个元素自成集合
	}
}

③查找Find(S, x)：查找集合S中元素x的根结点的标号。（是负数）

void Find(int S[], int x){
	while(S[x] > 0){//循环寻找x的根
		x = S[X];
	}
	return x;//根的S[]<0
}

④Union(S, Root1, Root2)：把子集合Root2并入子集合Root1。（两个集合互不相交）（此处的ROOT2、ROOT1都是指结点下标）
将root2的根结点的S【】变为Root1的下标

void Union(int S[], int Root1, int Root2){
	S[Root2] = Root1;
}

附（树的习题，主要是哈夫曼树相关）

①对于任意一个树，度数+1=节点数
②树的路径长度是根结点到各个结点的路径长度的总和
③二叉树的性质的笔记有空可以看看，但面试应该不会问
④哈夫曼树没有度为1的结点，又由于度为2的结点个数是度为0的结点个数+1，故节点总数是2*N0-1
⑤**前缀码：**任何一个字符的编码都不能是其他字符编码的前缀。哈夫曼编码是前缀码，因为没有一片树叶是另一片树叶的祖先, 所以每个叶子结点的编码就不可能是其它叶子结点编码的前缀。
⑥一组权值构造的哈夫曼树通常不唯一，因为左右子树没有规定

后续见：408复习笔记（二）：经典数据结构和算法PART2（图、查找、排序）