第五章——树和二叉树

一.树的基本概念

1.树的定义

【定义】树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n=0）；或为非空树，
对于非空树T：
①有且仅有一个称之为根的结点；
②除根结点以外的其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1, T2, …, Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

树的结构定义是一个递归的定义，在树的定义中又用到树的定义，它道出了树的固有特性。
【树的表示形式】
①嵌套集合
②广义表
③凹入法（类似于书的编目）

2.树的基本术语

【结点】树中的一个独立单元。
【结点的度】结点拥有的子树数称为结点的度。
【树的度】树的度是树内各结点度的最大值。
【叶子】度为0的结点称为叶子或终端结点。
【非终端结点】度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，非终端结点也称为内部结点。
【双亲和孩子】结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。
【兄弟】同一个双亲的孩子之间互称兄弟
【祖先】从根到该结点所经分支上的所有结点。
【子孙】以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。
【层次】：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。树中任一结点的层次等于其双亲结点的层次加1。
【堂兄弟】双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
【树的深度】树中结点的最大层次称为树的深度或高度。
【有序树和无序树】如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
【森林】森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。

二.二叉树

1.二叉树的定义：

【定义】二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空数。

2.二叉树的特点：

①每个结点最多有俩孩子（二叉树中不存在度大于2的结点）
②子树有左右之分，次序不能颠倒
③二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树和右子树。

3.二叉树的性质：

①性质1 在二叉树的第i层上至多有2^i−1个结点（i≥1）。
②性质2 深度为k的二叉树至多有2^k−1个结点（k≥1），最少有K个结点。
③性质3 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

4.两种特殊形式的二叉树：

研究原因：它们在顺序存储的方式下可以还原。
满二叉树一定是完全二叉树
完全二叉树不一定是满二叉树

4.1满二叉树

【定义】深度为k且含有2^k−1个结点的二叉树。
【特点】
①每一层的结点数都是最大结点数（即每层都满）
②叶子结点全部都在最底层
【编号方法】从上至下，从左至右依次编号
【注意】满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数和叶子结点个数最多。

4.2完全二叉树

【定义】深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。图5.6（b）所示为一棵深度为4的完全二叉树。

在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意一个结点，即为一颗完全二叉树。
【注意】一定是从最后连续的去掉！！
【特点】
①叶子只可能分布在层次最大的两层上。
②对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为i，则其左分支下的子孙的最大层次必为l或i+1 。

**完全二叉树的性质：

性质4表明了完全二叉树结点数n与完全二叉树深度k之间的关。

性质⑤表明了完全二叉树中双亲结点编号与孩子结点编号之间的关系

三.二叉树的存储结构

3.1顺序存储结构

1.二叉树顺序存储实现：

按照满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树的数据元素。

附：完全二叉树编号为i的结点存储在数组下表为i-1的分量中。

通过顺序表画出二叉树
通过二叉树画出顺序表

#define MAXSIZE 100
typedef TElemType SqBiTree [MAXSIZE];  //0号单元存储根节点
SqBiTree bt;

2.二叉树顺序存储的缺点：

.在最坏情况下，深度为K的且只有k个结点的单枝树需要长度为2^k-1的一维数组，浪费存储空间

3.二叉树顺序存储的特点：

①结点关系蕴含在其存储位置之中
②浪费空间，适合存储满二叉树和完全二叉树

3.2链式存储结构

1.二叉树链式存储实现

由于顺序存储空间利用率低，一般会采用链式存储结构

typedef struct BiNode{
	TElemType data; //结点的数据域
	struct BiNode *child,*rchild;//左右孩子指针
}BiNode,*BiTree;

在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域