课堂拾遗（28）——分数的意义

    同事参加优质课竞赛，选择了五年级下册教材中《分数的意义》一课。想起几年前也上过这节公开课，似乎当时上得并不成功，原因在于对教材的把握。再次面对这节课，许多磨课的经历浮现眼前，对这节课也提起了兴趣，觉得有必要对分数的知识再次进行理解和梳理。

    翻阅书架上史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》，书中的30个核心问题中就有一个问题是:如何认识分数？

史宁中主编

    他认为:分数本身是数不是运算。虽然可以把分数看成除法运算的种表示，但分数本身是数而不是运算。古希腊学者对分数进行了深入的研究，他们最初认为:现实世界中的所有数量关系都能写成分数的形式，也就是说，现实世界中所有的数都能够用整数表示。后来，他们发现根号2（√2）不能写成分数的形式，于是把能写成分数形式的数称为有理数，把不能用分数表示的数称为无理数。

      分数的本质在于真分数，即分数的分子小于分母。这样的分数有两个现实背景:一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间整数的比例关系（即整比例关系）。

    对于整体与等分关系的理解中，问题的关键是对整体的等分，是把整体看作1。通过等分得到分数单位。两个分数分母相同，意味着这两个分数的分数单位相同。这种情况，容易比较两个分数的大小。两个分数分母不同，意味着这两个分数的分数单位不同。因此，必须对两个分数的原有分数单位进一步等分，使得两个分数能够在相同的分数单位上进行大小比较以及加减法运算。正是这样，才有了我们平时所说的分数的性质，继而得到不同分母分数的加减法运算法则。

      分数还可以表示两个事物量之间的整数比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。我们还应该在运用中逐步发现:分数是一种无量纲（或称量纲一）的数。也就是无论什么物体，图形，计量单位，整体等等，只要平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，就是分数，而分数的分母只跟平均分的份数有关，与整体本身的大小无关，而在比例中同样如此。因此，现实生活中一些看来无法比较的事情用分数就可以进行比较了，这就是通常所用的百分数。

      回归小学教材中“认识分数”的内容，我们可以看到，在小学阶段涉及分数的内容是比较多的，大体分布是:第一学段初步认识分数，第二学段理解应用分数。在初步认识分数的阶段，采用“整体的等分（即平均分）”是比较合适的，在理解应用分数的阶段，可以逐步引入“数量的比例”。而本节课“认识分数的意义”是通过“平均分”认识分数的。同时，我们应当认识到:现行教材中分数的定义——把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。这里突出的是“率”的意义，“量”的意义是不突出的。但量也好，率也好，都有现实背景，是分数在现实世界中的具体表现。在一定条件下，分数的大小就是量的大小。在一定的条件下，分数的大小既是率的大小，也是量的大小。更高层次的说法是:分数是一个抽象的数，是一个可以与自然数1比较大小的数。

      对分数的意义有了理性的认识和理解后，我们再回归课堂，回到学生的起点，设计整节课的教学思路，才能站得高看得远。