【考研数学】矩阵三大关系的梳理和讨论 | 等价、相似、合同

文章目录

  • 引言
  • 一、定义
  • 二、判别法
  • 写在最后


引言

昨天学了矩阵的合同关系,老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法,方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑,为此,我想自己梳理一遍,顺带也复习一下线代之前的所学。


一、定义

矩阵等价 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为同型矩阵,若存在可逆矩阵 P , Q \pmb{P,Q} P,Q ,使得 P A Q = B \pmb{PAQ=B} PAQ=B ,称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 等价,记为 A ≅ B \pmb{A\cong B} AB

矩阵相似 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B n n n 阶矩阵,若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ,使得 P − 1 A P = B \pmb{P^{-1}AP=B} P1AP=B ,称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似,记为 A ∼ B \pmb{A\sim B} AB

矩阵合同 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B n n n 阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ,使得 P T A P = B \pmb{P^TAP=B} PTAP=B ,称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同,记为 A ≃ B \pmb{A\simeq B} AB

从定义来看,在考研范围内,合同的要求最高,为 n n n 阶实对称矩阵,相似要求为方阵,而等价则只要求同型。

三者关系的定义形式也很类似,都是存在可逆矩阵,使得一个矩阵左乘右乘,变为另一个矩阵。容易看出,相似和合同关系一定是等价关系,因为相似和合同中的矩阵 P , P T , P − 1 \pmb{P,P^T,P^{-1}} P,PT,P1 都是可逆的。

我们也可以发现,如果矩阵 P \pmb{P} P 满足 P T = P − 1 \pmb{P^T=P^{-1}} PT=P1 ,相似关系和合同关系似乎就等价了。恰巧,这样的矩阵我们也学过,叫作正交矩阵。但是实际上是有些问题的,我们需要借助对角化的内容来进行论证,请看我的。


假设两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似,是否能推出一定合同呢?答案是肯定的。
证明: A ∼ B \pmb{A\sim B} AB ,有存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ,使得 P − 1 A P = B \pmb{P^{-1}AP=B} P1AP=B 。又因为矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 为实对称矩阵,一定可以相似对角化,即存在正交矩阵 Q 1 , Q 2 \pmb{Q_1,Q_2} Q1,Q2 ,使得 Q 1 − 1 A Q = Λ = Q 2 − 1 B Q 2 \pmb{Q_1^{-1}AQ=\Lambda=Q^{-1}_2BQ_2} Q11AQ=Λ=Q21BQ2 。由 Q 1 T = Q 1 − 1 , Q 2 T = Q 2 − 1 \pmb{Q_1^T=Q_1^{-1},Q_2^T=Q_2^{-1}} Q1T=Q11,Q2T=Q21 ,则 Q 1 T A Q 1 = Q 2 T B Q 2 \pmb{Q_1^TAQ_1=Q_2^TBQ_2} Q1TAQ1=Q2TBQ2 ,两边同时左乘 ( Q 2 T ) − 1 = Q 2 \pmb{(Q_2^T)^{-1}=Q_2} (Q2T)1=Q2 ,右乘 Q 2 − 1 = Q 2 T \pmb{Q_2^{-1}=Q_2^T} Q21=Q2T ,即 Q 2 Q 1 T A Q 1 Q 2 T = B \pmb{Q_2Q_1^TAQ_1Q_2^T=B} Q2Q1TAQ1Q2T=B ,整理可得 ( Q 1 Q 2 T ) T A ( Q 1 Q 2 T ) = B \pmb{(Q_1Q_2^T)^TA(Q_1Q_2^T)=B} (Q1Q2T)TA(Q1Q2T)=B 证毕

假设两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同,是否能推出一定相似呢?答案是否定的。
证明: A ≃ B \pmb{A\simeq B} AB ,存在可逆矩阵 P \pmb{P} P(非正交矩阵) ,使得 P T A P = B \pmb{P^TAP=B} PTAP=B 。 矩阵 B \pmb{B} B 为实对称矩阵,一定可以相似对角化,有 Q T B Q = Λ \pmb{Q^{T}BQ=\Lambda} QTBQ=Λ ,则有 Q T P T A P Q = Λ \pmb{Q^TP^TAPQ=\Lambda} QTPTAPQ=Λ 。将 A \pmb{A} A 单独放到一边,有 A = P Q Λ Q − 1 P − 1 = ( P T ) − 1 ( ( Q T ) − 1 Λ Q − 1 ) P − 1 = ( P T ) − 1 B P − 1 \pmb{A=PQ\Lambda Q^{-1}P^{-1}=(P^T)^{-1}((Q^T)^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}=(P^T)^{-1}BP^{-1}} A=PQΛQ1P1=(PT)1((QT)1ΛQ1)P1=(PT)1BP1 。当且仅当 ( P T ) − 1 = P \pmb{(P^T)^{-1}=P} (PT)1=P 时,即 P \pmb{P} P 为正交矩阵时,有如上结论。

证毕。

第一个命题没有涉及到 P \pmb{P} P 这一可逆而不确定是否正交的矩阵,故可顺利进行。而第二个命题无法保证 P \pmb{P} P 正交,故无法进行下去。


二、判别法

如何判断两个同型矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否等价呢?
给出判别法:若 r ( A ) = r ( B ) r(\pmb{A})=r(\pmb{B}) r(A)=r(B) ,则矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 等价。

如何判断两个 n n n 阶矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否相似呢?
给出判别法:若 A , B \pmb{A,B} A,B 的特征值相同且 A , B \pmb{A,B} A,B 均可以相似对角化,则矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似。

如何判断两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否合同呢?
给出判别法: A , B \pmb{A,B} A,B 的正、负、零特征值个数相同。

从判别法可以看出,等价只要求两个矩阵的秩相同;而相似除秩相同外,还需要保证两个矩阵的行列式、迹、特征值、特征多项式也相同;合同则除秩相等外,还需保证其正、负、零特征值个数对应相同。


写在最后

在考研范围内,我们只能得出:

在实对称矩阵范围: 相似一定合同,合同不一定相似;相似一定等价,合同一定等价。

在一般 n n n 阶矩阵范围: 相似和合同无关;相似一定等价,合同一定等价。

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