7/23学习心得+递归+二分

学习心得：

今晚题目做不出来，心态爆炸ing。一直超时，最讨厌优化了！！还有一个题看也看不懂，现在也不想思考了，呜呜呜，蓝瘦，好想看答案，还是抑制住了我的思想，啊，这种情况下果然脑子里面都是“你这么菜在这里丢什么人”之类的呢，心情沉重。毕竟他们仿佛都会但是我停止了思考~~就让我安静的做一条咸鱼（怎么可能啊喂！不过真的好渴望做一条咸鱼呢！）

看了题解之后：

那个一直超时的题，应该是先用函数找出所有的因数（而不是一个个遍历……呜呜），然后再判断因数是不是有重复数字就可以。

c题看起来很难，其实看懂了这个递归方程就很好理解了，因为只有一个递归的线路，所以只能循环一次，就到了递归的终止，而且从一个例子来看，经过一次递归，第一个数会到最后，其余的数字不变，所以要想结果是可以递增的，就是要把最大的放前面，然后其他的递增输出即可。

哎，心态爆炸ing，不想说话。不想做题。

今天本来想再交一交试试能不能过，结果编译错误……都能运行出答案你跟我讲编译错误？？

今日份知识点总结：

1.前缀和

对于某个数列a，它的前缀和数列s是通过递推得到的信息之一，往往在开始做题的时候，就可以利用a[i]求出对应的s[i]。部分和，即数列a从l->r这一部分的和，可以表示为对应的s之差:sum[l,r]=s[r]-s[l-1]。

二维矩阵中，也是类似的推导过程。

a[i][j]=s[i][j]-s[i-r][j]-s[i][j-r]+s[i-r][j-r](最后这一项是因为在减去前两项时，多剪了一次左上角的区域，得到的a[i][j]变小了。

2.递归

这个递归看的！遇上了跟没遇见过一样！

以原问题为起点，尝试把状态空间缩小到已知的“问题边界”的路线，再通过这条路线反向回溯的遍历方式就是递归。即，由问题找路线（可以发现答案的路线），直到定义域的边界处，再由这个路线原路返回，并带回答案。

考虑问题发现可以递归后，可以用以下步骤来写出递归方程：

1.尝试缩小状态空间（由大问题化解为小问题）。

2.求解这个小问题，由结果看缩小的成功与否。

3.由小问题返回到大问题，答案拓展。

例题：

（1）1~n之中随机选取任意个数字，输出所有可能的求解方案

答：缩小为数字1、2中选择，发现任意一个数字有两条路径：选与不选。从1到2，选1也选2、选1不选2、不选1选2、不选1不选2，这四种答案，问题边界：选完第二个数。所以由此可知，在1~n中，每一个数都可以有选与不选两个递归路线，边界，递归的次数（已选过的数字的个数）>n。

返回过程：从1->n，每个数字都是选与不选，每次的选择都会有不一样的路径，不一样的可能，到n就输出。

（2）1~n全排列输出

答：缩小为1、2、3全排列。for（1~3）中，第一次循环选1，标记1已经选过一次，第二次依旧是1~3的循环，在没有被标记的数字中选下一个数字，直到选完所有的数字。同理，扩大之后也是这样的选择路径方法。

边界条件：已经选了n个数字。

注意：

1.局部变量不能太多，防止栈溢出。

2.非局部变量所有递归共有，必须进行现场还原，否则影响各层递归的数据。

3.二分

二分基础应用：在单调函数、单调队列之中进行查找，三分还能进行求峰值的问题。

二分有整数域和实数域两种

（1）整数域

参考书的二分写法保证答案在闭区间[l,r]中，循环当l==r时结束，每次二分mid都会划分于左半部分或者右半部分。

①结果属于>=某个数值（x）中的最小值时（要么是x本身，要么没有x时取大于x的第一个数字），相当于找满足条件的这个区间的最左边部分，如此看来，mid>x的部分可以舍去（所求在最左边），r=mid-1。相反，若找<=x的最大值，则舍去左半边，l=mid+1。

②mid=(l+r)/2  永远取不到r，所以这个mid用于舍弃右边部分，求最小值。

mid=(l+1+r)/2  永远取不到l，舍弃左半部分，求最大值。

③终止条件：l==r。

（2）实数域

有小数，所以l==r不怎么可能成立。

所以while（)条件要变换：l+1e-5

其余部分一样。

3.3二分的现实应用

一个最优化问题也可以抽象为函数，不过这一次的解，由我们自己设定边界，求得满足条件且在边界周围的最优化解。

假设最优评分是mid，那么对于>mid的，现然不可能达到该评分，对于

例子：

n本书排成一排，第i本书的厚度是ai，把他们分成连续的m组，使厚度之和最大的一组在所有分组情况中最小。

思考：

假设最优厚度是mid，那么每次都减去一本书的厚度，看看以这个大小为边界，可以分成几组，因为要求最小值，舍右。如果恰好分成<=m组了,则r=mid看看还能不能更小，不能分成m组的话，说明这个厚度界限太大，l=mid+1，要将厚度的最优变得大一点。

3.7三分

有唯一的极大值点，或唯一的极小值点。

f(x)在定义域[l,r]上取lmid、rmid。（lmid

（1）如果f(lmid)

则，无论rmid在那一边，lmid必须始终在左边，由此得知，极值点横坐标一定大于lmid，则l=limd。

（2）如果f(lmid)>f(rmid)

同理，无论lmid在左在右，rmid始终在右，极值点一定在左边，所以r=rmid。