【数据结构】二叉树 —— 遍历二叉树 + 递归的分治（链式存储）
文章目录
- 前言：
- 1. 二叉树的四种遍历结构：
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- 1.1 二叉树结构划分：
- 1.2 二叉树的遍历结构：
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- 2.递归的分治思想：
- 3. 链式二叉树的创建：（BinaryTree）
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- 具体函数实现：
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- 3.1 创建二叉树
- 3.2 前序遍历
- 3.3 中序 / 后序遍历
- 3.4 树中结点个的数
- 3.5 叶子结点个数
- 3.6 第K层的结点个数
- 3.7 求二叉树的深度
- 3.8 查找二叉树值为x的结点
- 3.9 销毁二叉树
- 测试函数：
- 总结：
前言：
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
1. 二叉树的四种遍历结构：
1.1 二叉树结构划分：
任何二叉树都能分成三个结构：
- 根，左子树，右子树
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
1.2 二叉树的遍历结构：
二叉树的四种遍历结构：
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前序遍历 : - (先根遍历):根节点，左子树，右子树
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中序遍历 : 左子树， 根节点， 右子树
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后序遍历 : - (后跟遍历): 左子树，右子树，根节点
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层序遍历 : 一层一层遍历
2.递归的分治思想：
-
递归调用自己建立栈帧
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执行指令，建立栈帧，局部变量就存在栈帧里面的
-
二叉树复杂的原因是它是双路递归
分治: （分而治之） -
把复杂的问题，分成更小规模的子问题，子问题再分成更小规模的子问题。。。
-
直到子问题不可再分割，直接能出结果。
3. 链式二叉树的创建：（BinaryTree）
具体函数实现：
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
BTDataType data;
}BTNode;
//创建新结点
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)
{
BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (node == NULL)
{
exit(-1);
}
node->data = x;
node->left = node->right = NULL;
return node;
}
3.1 创建二叉树
创建完之后的二叉树如图所示：
//创建二叉树
BTNode* CreatBinaryTree()
{
BTNode* node1 = BuyBTNode(1);
BTNode* node2 = BuyBTNode(2);
BTNode* node3 = BuyBTNode(3);
BTNode* node4 = BuyBTNode(4);
BTNode* node5 = BuyBTNode(5);
BTNode* node6 = BuyBTNode(6);
node1->left = node2;
node1->right = node4;
node2->left = node3;
node4->left = node5;
node4->right = node6;
return node1;
}
3.2 前序遍历
//前序遍历
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
printf("%d ", root->data);
PrevOrder(root->left);
PrevOrder(root->right);
}
- 前序遍历的顺序是：根，左子树，右子树，
- 再从子树中继续分：根，左子树，右子树
- ……
- 直到不可再分为止，这就是递归的分治思想。
递归展开图如下：
3.3 中序 / 后序遍历
中序遍历和后序遍历与前序遍历极其相似，根据其特定的遍历顺序依次递归即可。
//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
InOrder(root->left);
printf("%d ", root->data);
InOrder(root->right);
}
//后续遍历
void BackOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
BackOrder(root->left);
BackOrder(root->right);
printf("%d ", root->data);
}
3.4 树中结点个的数
计算二叉树中结点的个数
- 设置一个变量用来计数
- 但是这个计数变量不能设为局部变量
- 因为每次递归依次，都会创建一个新的栈帧，每个栈帧里面都会创建一个新的计数变量
- 这样就不能起到计数的作用
- 将计数变量设置成静态或全区变量
- 设置成静态变量，但是这都需要返回值
- 全局变量虽然很方便但是，但是还是存在问题，会有线程安全的问题，这个以后linux学就知道了
- 多次调用的时候会出现累加的现象
- 运用指针，传计数变量的地址
- 这种做法是最安全的
- 但是还是存在多次调用出现累加的现象
//树中结点的个数 - 设置全局变量
int count = 0;
void BTreeSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
count++;
BTreeSize(root->left);
BTreeSize(root->right);
}
//最安全的方式 - 传地址
//思想: 遍历 + 计数
void BTreeSize(BTNode* root, int* pCount)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
(*pCount)++;
BTreeSize(root->left, pCount);
BTreeSize(root->right, pCount);
}
新思路：用递归的分治的思想
- 计算二叉树结点的总个数
- 那么可以理解成，总结点个数 = 左子树结点数目 + 右子树结点数目 + 根结点
- 然后子树再继续分，左子树结点个数 = 左子树根节点左子树结点数目 + 左子树根节点右子树结点数目 + 左子树根节点
- 右子树结点个数 = 右子树根节点右子树结点数目 + 右子树根节点右子树结点数目 + 右子树根节点
- 一直分到左右子树为叶子结点的时候，再往回反。
//结点数目 - 新思路
int BTreeSize(BTNode* root)
{
return root == NULL ? 0 : BTreeSize(root->left)
+ BTreeSize(root->right) + 1;
}
3.5 叶子结点个数
- 分治的思想，整个树的叶子结点 = 左子树叶子结点 + 右子树叶子结点
- 在子树中继续分，左子树叶子结点 + 右子树叶子结点
- 直到分成最小问题之后不可再分，再一层一层往回反
//计算叶子结点的个数
int BTreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL)
{
return 1;
}
return BTreeLeafSize(root->left) + BTreeLeafSize(root->right);
}
3.6 第K层的结点个数
分治的思想：
- 空树，返回0
- 非空，且k == 1，返回1
- 非空，且k > 1,转换成求: 左子树k - 1层结点个数 + 右子树k - 1层结点个数
- 一直将问题分解
- 直到找到最小规模子问题，依次往上回
//第k层的结点的个数, k >= 1
int BTreeKLevelSize(BTNode* root, int k)
{
assert(k >= 1);
if (root == NULL)
{
return 0;
}
if (k == 1)
{
return 1;
}
return BTreeKLevelSize(root->left, k - 1) +
+BTreeKLevelSize(root->right, k - 1);
3.7 求二叉树的深度
分治的思想：
- 左子树高度 和 右子树高度 比较
- 大的那个 + 1
- 一直将问题分解
- 直到找到最小规模子问题，依次往上返回
//求二叉树的深度(高度)
int BTreeDepth(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return 0;
}
int leftDepth = BTreeDepth(root->left);
int rightDepth = BTreeDepth(root->right);
return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}
3.8 查找二叉树值为x的结点
分治的思想：
- 现在左子树中找，找到返回地址，找不到NULL，再去右树中找
- 再在子树中分子树的左右子树找
- 一直将问题分解
- 直到找到最小规模子问题
- 找到：依次往上返回找到等于该值的结点的地址
- 找不到：依次向上返回NULL
递归展开图如下：
//查找二叉树值为x的结点
BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
if (root == NULL)
{
return NULL;
}
if (root->data == x)
{
return root;
}
BTNode* ret1 = BTreeFind(root->left, x);
if (ret1)
{
return ret1;
}
BTNode* ret2 = BTreeFind(root->right, x);
if (ret2)
{
return ret2;
}
return NULL;
}
3.9 销毁二叉树
//二叉树的销毁 - 后续方式销毁即可
void BTreeDestroy(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
BTreeDestroy(root->left);
BTreeDestroy(root->right);
free(root);
}
测试函数：
int main()
{
BTNode* tree = CreatBinaryTree();
PrevOrder(tree);
printf("\n");
InOrder(tree);
printf("\n");
BackOrder(tree);
printf("\n");
/*count = 0;
BTreeSize(tree);
printf("size:%d\n",count);
count = 0;
BTreeSize(tree);
printf("size:%d\n", count);*/
/*int count1 = 0;
BTreeSize(tree, &count1);
printf("size:%d\n", count1);
int count2 = 0;
BTreeSize(tree, &count2);
printf("size:%d\n", count2);*/
printf("size:%d\n", BTreeSize(tree));
printf("Leaf size:%d\n", BTreeLeafSize(tree));
printf("Depth size:%d\n", BTreeDepth(tree));
printf("BTree 3 level size:%d\n", BTreeKLevelSize(tree, 3));
for (int i = 1; i <= 7; i++)
{
printf("Find: %d,%p\n", i, BTreeFind(tree, i));
}
return 0;
}
总结：
- 二叉树复杂的原因是它是双路递归
- 普通二叉树的增删查改没意义
- 用链式二叉树增删查改价值不大了 - 那么复杂的结构
- 二叉树的遍历等操作的学习，能够更好地控制它的结构
- 为后续学习更复杂的(平衡)搜索二叉树打基础
- 很多二叉树OJ算法题，都出在普通二叉树上
- 后续衍生出来的问题:平衡搜索二叉树:AVL树，红黑树
- B树 B+树 B*树 - 高阶数据结构