博弈论——P3480 [POI2009]KAM-Pebbles | 阶梯Nim博弈

题目

P3480 [POI2009]KAM-Pebbles

算法分析

设$a[i]$表示第$i$堆石子的个数，$c[i]$表示$a[i]-a[i-1]$,即相邻两堆之间的差值,则我们每堆可以拿的石子数即为$c[i]$。当我们在第$i$堆拿了$x$个时，$c[i]$变成了$c[i]-x$，$c[i+1]$变成了$c[i+1]+x$，相当于我们把第i堆中可拿的石子转移到了$i+1$堆，由此我们可以把此题转化为一道反着的阶梯nim游戏。

下面简单了解一下阶梯nim。
以下图片摘自 浅谈算法——博弈论 例8：取石子游戏之八（Staircase Nim）

阶梯nim是指，有n堆石子，每次我们可以从第i堆的石子中拿走一部分放到第i-1堆中，或者把第1堆中的石子拿走一部分，无法操作的人算输。先说结论：阶梯nim的游戏结果与只看奇数堆的石子数的普通nim结果相同。

假设我先手，那么我可以按照必胜策略把奇数堆中的石子转移到偶数堆，当对方拿的时候我们分情况讨论：

1.对方拿奇数堆中的石子到偶数堆，相当于进行对于奇数堆的普通nim，我们继续按照必胜策略拿奇数堆中的石子；

2.对方把偶数堆的石子拿到奇数堆，则我们可以把这部分石子继续向下拿，对于奇数堆相当于局势没有变动。

具体代码如下：

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#define rg register
typedef long long ll;
using namespace std;
inline int sread()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
	return f*x; 
}
int u;
int n,r;
int a[100000];
int c[100000];
int main()
{
	u=sread();
	for(int e=1;e<=u;++e)
	{
		n=0;	r=0;
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(c,0,sizeof(c));
		
		n=sread();
		for(rg int i=1;i<=n;++i) a[i]=sread();
		for(rg int i=1;i<=n;++i) c[i]=a[i]-a[i-1];

		for(rg int i=n;i>=1;i-=2) r=r^c[i];//转化为简单的Nim博弈 
		if(r) printf("TAK\n");
		else printf("NIE\n");
	}
	return 0;
}

反思与总结

1.学习（见识）了一种特殊的博弈类型——阶梯博弈。
2.复习了简单的Nim博弈类型。
3.水掉了一道紫题嘿嘿