变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换

1. 位移(translation)

对于一个三维坐标(x, y, z),我们想让它往x轴正方向移动1个单位,往y轴正方向移动1个单位,往z轴正方向移动1个单位,则可以让它加上一个向量(1, 1, 1)

2. 旋转(Rotation)

对于一个三维坐标(x, y, z),让其绕x, y, z轴旋转θ角的方法是在其左边乘上一个旋转矩阵。绕x轴,绕y轴,绕z轴的旋转矩阵分别是:

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第1张图片

PS:如果我们想更加通用一点,即点(x, y, z)绕轴(u, v, w)旋转θ的矩阵是什么?
如果u, v, w三者的平方和为1,即该向量是个单位向量,那么矩阵如下:

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第2张图片

3. 缩放(scale)

对于一个三维坐标(x, y, z),我们想让它扩大2倍,则可以让它变成(2x, 2y, 2z)。写成矩阵乘法的话,V2 = M*V1,M如下图:

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第3张图片

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第4张图片

4. 统一变换

有没有什么方法让位移,旋转,缩放都成为统一的一种形式?
答:将三维坐标转换为四维坐标,然后使用线性变换。

线性变换(Linear Transformation / Xforms)是渲染和游戏引擎等图形学工具进行坐标变换的方式,是可逆的。
线性变换的等式如下:
V2 = M*V1

  • V是齐次(homogeneous)四维向量(x,y,z,w),竖着写的
  • M是齐次4×4矩阵
  • 当w=1时,四维坐标会变成三维坐标

对于三维坐标(x, y, z),将其转换为四维坐标,可以直接加个1,即变成(x, y, z, 1)
对于四维坐标(x, y, z, w),都除以w即可转换为三维坐标,即(x/w, y/w, z/w)

1. 四维位移

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第5张图片

这个图要从右向左看


从上图中可以看到,四维位移矩阵,是在一个四维单位矩阵(就是对角线都是1,其他都是0的矩阵)的最后一列,放入你想要位移的向量(tx, ty, tz)

2. 四维旋转

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第6张图片

绕x轴转θ


从上图中可以看到,四维旋转矩阵,是在我们上面刚说的三维绕轴旋转矩阵的基础上,在最后一行和最后一列补上一个(0,0,0,1)。

3. 四维缩放

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第7张图片

从右向左看


和旋转一个道理。

5. 四维变换的性质

  1. 可关联(associative)
    你可以让一个坐标乘上一个旋转矩阵,再乘上一个位移矩阵,再乘上一个缩放矩阵,再乘上一个旋转矩阵………………

  2. 旋转和缩放矩阵可交换(communicative)
    先旋转后缩放和先缩放后旋转的结果是一样的。RS = SR
    位移不满足交换律
    先位移再旋转和先旋转再位移结果是不一样的!因为旋转之后模型的正面朝向就变了,所以会向新的方向位移。
    TS!=ST, TR!=RT

  3. 对于任何一个线性变换矩阵,我们可以把它拆解(decompose)为TRS或TSR三个矩阵的乘积的形式。

    变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第8张图片

     

     

    1)首先提取最后一列,得到位移
    2)剩余的矩阵是R和S相乘的矩阵
    我们可以先看一下S和R相乘的结果是什么样的

    变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第9张图片

     

    SR相乘, 以Z轴旋转为例


    从图中可以看出,SR矩阵,第一行的平方和开根就是Sx,第二行的平方和开根就是Sy,第三行的平方和开根就是Sz。第一行除以Sx,第二行除以Sy,第三行除以Sz,即可得到旋转矩阵。

6. 四维变换的逆变换

由于线性变换是可逆的,所以我们可以看一下位移旋转缩放的逆矩阵。
1. 位移
T的逆矩阵是-T,即向反方向移动。
2. 旋转
R的逆矩阵是R的转置矩阵,即以对角线翻转矩阵。
怎么理解呢?比如R是绕X轴旋转θ,那么逆操作就是绕X轴旋转,带入-θ就会发现它变成了转置矩阵。
3. 缩放
S的逆矩阵是1/S,即把对角线上的三个元素都变成倒数,即反向缩放。
4. 线性变换Xforms
TSR的逆矩阵 = R的逆×S的逆×T的逆

变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换_第10张图片


以上转载自:https://www.jianshu.com/p/ac1b34420be7
 

你可能感兴趣的:(unity)