变换矩阵_平移 缩放 旋转及统一变换
1. 位移（translation）
对于一个三维坐标（x, y, z），我们想让它往x轴正方向移动1个单位，往y轴正方向移动1个单位，往z轴正方向移动1个单位，则可以让它加上一个向量（1, 1, 1）
2. 旋转（Rotation）
对于一个三维坐标（x, y, z），让其绕x, y, z轴旋转θ角的方法是在其左边乘上一个旋转矩阵。绕x轴，绕y轴，绕z轴的旋转矩阵分别是：
PS：如果我们想更加通用一点，即点（x, y, z）绕轴（u, v, w）旋转θ的矩阵是什么？
如果u, v, w三者的平方和为1，即该向量是个单位向量，那么矩阵如下：
3. 缩放（scale）
对于一个三维坐标（x, y, z），我们想让它扩大2倍，则可以让它变成（2x, 2y, 2z）。写成矩阵乘法的话，V2 = M*V1，M如下图：
4. 统一变换
有没有什么方法让位移，旋转，缩放都成为统一的一种形式？
答：将三维坐标转换为四维坐标，然后使用线性变换。
线性变换（Linear Transformation / Xforms）是渲染和游戏引擎等图形学工具进行坐标变换的方式，是可逆的。
线性变换的等式如下：
V2 = M*V1
- V是齐次（homogeneous）四维向量（x,y,z,w），竖着写的
- M是齐次4×4矩阵
- 当w=1时，四维坐标会变成三维坐标
对于三维坐标（x, y, z），将其转换为四维坐标，可以直接加个1，即变成（x, y, z, 1）
对于四维坐标（x, y, z, w），都除以w即可转换为三维坐标，即（x/w, y/w, z/w）
1. 四维位移
这个图要从右向左看
从上图中可以看到，四维位移矩阵，是在一个四维单位矩阵（就是对角线都是1，其他都是0的矩阵）的最后一列，放入你想要位移的向量（tx, ty, tz）
2. 四维旋转
绕x轴转θ
从上图中可以看到，四维旋转矩阵，是在我们上面刚说的三维绕轴旋转矩阵的基础上，在最后一行和最后一列补上一个（0，0，0，1）。
3. 四维缩放
从右向左看
和旋转一个道理。
5. 四维变换的性质
-
可关联（associative）
你可以让一个坐标乘上一个旋转矩阵，再乘上一个位移矩阵，再乘上一个缩放矩阵，再乘上一个旋转矩阵……………… -
旋转和缩放矩阵可交换（communicative）
先旋转后缩放和先缩放后旋转的结果是一样的。RS = SR
位移不满足交换律
先位移再旋转和先旋转再位移结果是不一样的！因为旋转之后模型的正面朝向就变了，所以会向新的方向位移。
TS!=ST, TR!=RT -
对于任何一个线性变换矩阵，我们可以把它拆解（decompose）为TRS或TSR三个矩阵的乘积的形式。
1）首先提取最后一列，得到位移
2）剩余的矩阵是R和S相乘的矩阵
我们可以先看一下S和R相乘的结果是什么样的
SR相乘, 以Z轴旋转为例
从图中可以看出，SR矩阵，第一行的平方和开根就是Sx，第二行的平方和开根就是Sy，第三行的平方和开根就是Sz。第一行除以Sx，第二行除以Sy，第三行除以Sz，即可得到旋转矩阵。
6. 四维变换的逆变换
由于线性变换是可逆的，所以我们可以看一下位移旋转缩放的逆矩阵。
1. 位移
T的逆矩阵是-T，即向反方向移动。
2. 旋转
R的逆矩阵是R的转置矩阵，即以对角线翻转矩阵。
怎么理解呢？比如R是绕X轴旋转θ，那么逆操作就是绕X轴旋转-θ，带入-θ就会发现它变成了转置矩阵。
3. 缩放
S的逆矩阵是1/S，即把对角线上的三个元素都变成倒数，即反向缩放。
4. 线性变换Xforms
TSR的逆矩阵 = R的逆×S的逆×T的逆
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