【算法】时间复杂度，空间复杂度

一： 时间频度

1.1 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1. 事后统计的方法

但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算的硬件、软件等环境因素,这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2. 事前估算的方法

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

1.2 基本介绍

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

1.3 举例说明

计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法
方法一：

方法二：

1.4 忽略常数项

结论:
1）2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
2）3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

1.5 忽略低次项

结论:
1）2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2）n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

1.6 忽略系数

结论:
1）随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
2）而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

二：时间复杂度

2.1 介绍

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

2.2 计算时间复杂度的方法

1. 用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
2. 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
3. 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

2.3 常见的时间复杂度

• 常数阶O(1)
• 对数阶O(log2n)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlog2n)
• 平方阶O(n^2)
• 立方阶O(n^3)
• k次方阶O(n^k)
• 指数阶O(2^n)

说明：
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

2.3.1 常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2.3.2 对数阶O(log2n)

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n)

2.3.3 线性阶O(n)

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

2.3.4 线性对数阶O(nlogN)

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

2.3.5 平方阶O(n²)

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

2.3.6 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

2.4 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

• 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
• 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
• 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图)。

三：空间复杂度

3.1 基本介绍

• 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
• 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
• 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

3.2 影响空间复杂度的因素

3.3 如何计算空间复杂度

本质上也是一个函数表达式，用来计算算法的空间效率

3.3.1 空间复杂度计算的是算法运行所开辟的空间（单位：bite）吗？

1. 首先，空间复杂度计算的不是程序在运行过程中总共开辟的空间，而是临时（额外）开辟的空间（所谓额外，就是指不包括原有的空间）只需要计算这个算法所需要的额外空间即可。
2. 其次，空间复杂度不是计算不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

注意：
3. 函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运的得时候申请的额外空间来确定。
4. 在栈区或者堆区开辟的额外空间都要计算上。

3.3.2 空间复杂度是算具体的变量数吗？

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也是使用大O渐进表示法，只需要计算出它大概属于哪个量级即可。

3.3.3 总结

实际上，目前我们更关注时间复杂度，不太关注空间复杂度，原因可以参考摩尔定律。因为目前的机器内存空间都比较大，所有可以不太注重（但是也不能耗费太多）。
摩尔定律：摩尔定律是英特尔创始人之一戈登·摩尔的经验之谈，其核心内容为：集成电路上可以容纳的晶体管数目在大约每经过18个月到24个月便会增加一倍。换言之，处理器的性能大约每两年翻一倍，同时价格下降为之前的一半。