数列极限 & 函数极限

[数列极限]

性质：唯一性 有界性 保号性

考法

直接计算法

基础知识：等差数列求和，等比数列求和
重要公式：

解题方法

• 作差法（解题经验）
• 用对数求解，利用lnAB = lnA+lnB等性质
• 用倒数求解，一般题目中会有提示

单调有界准则

题目中含有相邻两项的递推式，证明数列的极限存在并求之
先证明函数单调，再证明函数有界（单增函数有上界，单减函数有下界）

解题方法

若题目中出现了不等式，则为题目提示用不等关系求解
重要不等式：

• 作差
  必要时可利用数学归纳法
  对于数列的相邻两项的表达式，当n无穷大时，可在两边取极限得到极限值
• 作商
  有阶层的式子考虑作商解题

定义法

构造|xn-a|
若题目中告知了某一数列的极限值，则采用定义法

解题方法

• 放缩法
  可先算出极限值，再用定义法通过放缩证明这个值就是极限值。

• 拉格朗日中值法
  在题目中见到原函数的导数，想到拉格朗日中值法

夹逼准则

解题方法

• 求 n（n为无穷大）个式子的和
  极限值介于n倍最小项与n倍最大项之间
• 求 n（n为有限数）个式子的和
  极限值介于一倍最大值与n倍最大值之间

定积分定义

对于n个式子的求和极限，如果能写出每一项的通式，则用定积分的定义
要点：凑出i/n与1/n

解题方法

• 基本型：直接凑出i/n
  n+i(an+bi)
  n^2 + i^2
  n^2 +ni
  i/n
• 凑不出i/n时，先放缩，放缩后，有两种解决方法
  • 直接用夹逼准则
  • 放缩后再凑i/n
• 变量型
  题目中给出的求和式中出现了变量x，可能指定了变量的范围。这时把x当作常数处理。

[函数极限]

数形结合百般好

函数及其性质

研究对象

积分形式 - 原函数形式 - 导数形式 - 泰勒展开式

函数的四种特性

有界性

单调性

奇偶性

• 前提：定义域关于远点对称
• 基本类型
  • f(x)+f(-x)为偶函数
  • f(x)-f(-x)为奇函数
• 复合规则 f[g(x)]
  • 奇[偶]=偶
  • 偶[奇]=偶
  • 奇[奇]=奇
  • 偶[偶]=偶
  • 非[偶]=偶
• 函数的奇偶性求导一次换一次
• 解题：利用奇偶性及奇偶函数的复合规则，求对称区间上的积分值
  • 奇函数在对称区间上的积分值为0，偶函数在对称区间上的积分值是2 x 半区间
• 变体类型（平移）
  • f(x)为偶函数（关于y轴对称）------>f(x)关于x=T对称
    • 找关于x=T的对称区间解题
  • f(x)为奇函数（关于原点对称）------>f(x)关于点(x0,0)对称
    • 找关于x=x0的对称区间解题

周期性

求导后周期性不变

考法 & 解题方法

恒等变形 & 等价无穷小替换

变形前先化简。恒等变形，通俗地说就是，++ -- ** // 换元 用公式

常用解题思路

• 见根号差，用有理化
• 重要公式： a^n - b^n=(a-b)(……)
• 裂项相消法
  考研题中容易将此方法运用到求1的无穷次方的极限中
  解题思路：用e将幂指函数转化成以e为底的指数函数
• 凑条件，构造等价无穷小替换

洛必达法则

洛必达法则经常作为辅助手段使用，当满足0/0或 无穷/无穷 时使用
公式积累：当x->1时，lnx ~ x-1

泰勒公式

展开原则（展开到几阶）

• A/B型（A*B转化成A/(1/B)）：上下同阶
  若分母（分子）是x^k， 则分子（分母）展开至x^k
• A-B型（A+B转换成A-(-B)）：幂次最低
  将A,B分别展开至系数不相等的最低次幂为止
  注：采用幂次最低的展开原则，可以抛弃大学高等数学中说的加减法不能用等价无穷小替换的说法。因为用泰勒展开时，是用主部精确求解。

其它解题经验

• 极限的脱帽法

夹逼准则

看准题目中出现的不等式，很多利用函数的周期性
数形结合百般好

单调有界准则

综合题