面试必备算法模板
一、基础算法
快速排序算法模板
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int q[N];
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return;
int mid = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
while (i < j)
{
do i ++; while (q[i] < mid);
do j --; while (q[j] > mid);
if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++)
scanf("%d", &q[i]);
quick_sort(q, 0, n - 1);
for (int i = 0; i < n; i ++)
printf("%d ", q[i]);
return 0;
}
归并排序算法模板
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int q[N], temp[N];
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return;
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);
int k = 0, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r)
{
if (q[i] < q[j]) temp[k ++] = q[i ++];
else temp[k ++] = q[j ++];
}
while (i <= mid) temp[k ++] = q[i ++];
while (j <= r) temp[k ++] = q[j ++];
for (int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++)
q[i] = temp[j];
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++)
scanf("%d", &q[i]);
merge_sort(q, 0, n - 1);
for (int i = 0; i < n; i ++)
printf("%d ", q[i]);
return 0;
}
整数二分算法模板
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
二分题：70%：单调性有关，95%：存在两段性的性质。
二分的流程：
1、确定二分的边界
2、编写二分的代码框架
3、设计一个check（性质）
4、判断一下区间如何更新
5、如果更新方式写的是 l = mid, r = mid + 1,那么就在算mid的时候加上1
浮点数二分算法模板
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector add(vector &A, vector &B)
{
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector sub(vector &A, vector &B)
{
vector C;
for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t = A[i] - t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);
if (t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
高精度乘低精度
// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector mul(vector &A, int b)
{
vector C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
高精度除以低精度
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector div(vector &A, int b, int &r)
{
vector C;
r = 0;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
{
r = r * 10 + A[i];
C.push_back(r / b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end());
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
一维前缀和
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int q[N], s[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
scanf("%d", &q[i]);
s[i] = s[i - 1] + q[i];
}
while (m --)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
}
return 0;
}
S[i] = a[1] + a[2] + … a[i]
a[l] + … + a[r] = S[r] - S[l - 1]
二维前缀和
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];
int main() {
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和
}
while (q --)
{
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
int t = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]; // 求子矩阵的和
printf("%d\n", t);
}
return 0;
}
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
一维差分
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];
void insert(int l, int r, int c)
{
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
scanf("%d", &a[i]);
insert(i, i, a[i]); // b[i] = a[i] - a[i - 1];
}
while (m --)
{
int r, l, c;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
insert(l, r, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
b[i] += b[i - 1]; // a[i] = a[i - 1] + b[i]
printf("%d ", b[i]);
}
return 0;
}
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
二维差分
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
insert(i, j, i, j, a[i][j]);
}
while (q --)
{
int x1, y1, x2, y2, c;
scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
for (int j = 1; j <= m; j ++)
{
// a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
printf("%d ", b[i][j]);
}
puts("");
}
return 0;
}
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
位运算
#include
using namespace std;
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int x, res=0;
cin >> x;
while(x) x -= x & -x, res ++;
cout << res << " ";
}
return 0;
}
求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n
双指针算法
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
// 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作
离散化
vector alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素
// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}
区间合并
#include
#include
#include
using namespace std;
using PII = pair;
int n;
vector segs, res;
int main()
{
cin >> n;
while (n --)
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
segs.push_back({l, r});
}
sort(segs.begin(), segs.end()); // 左端点排序
int st = -2e9, ed = -2e9; // st代表左端点，ed代表右端点
for (auto seg : segs)
if (ed < seg.first) // 不能合并
{
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
cout << res.size() << endl;
return 0;
}
二、数据结构
单链表
// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点
int head, e[N], ne[N], idx;
// 初始化
void init()
{
head = -1;
idx = 0;
}
// 在链表头插入一个数a
void insert(int a)
{
e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ;
}
// 将头结点删除，需要保证头结点存在
void remove()
{
head = ne[head];
}
双链表
// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点
int e[N], l[N], r[N], idx;
// 初始化
void init()
{
//0是左端点，1是右端点
r[0] = 1, l[1] = 0;
idx = 2;
}
// 在节点a的右边插入一个数x, 这个a是指第a个插入进去的数，并不是值为a或者链表中的第a个数
void insert(int a, int x)
{
e[idx] = x;
l[idx] = a, r[idx] = r[a];
l[r[idx]] = idx, r[a] = idx ++ ;
}
// 删除节点a, 其实并没有实际的删除数组中的节点，只是改变了节点的指针，算法中不考虑内存问题
void remove(int a)
{
l[r[a]] = l[a];
r[l[a]] = r[a];
}
栈
// tt表示栈顶
int stk[N], tt = 0;
// 向栈顶插入一个数
void push(int x)
{
stk[++ tt] = x;
}
// 从栈顶弹出一个数
void pop()
{
tt --;
}
// 栈顶的值
int top()
{
return stk[tt];
}
// 判断栈是否为空
bool empty()
{
if (tt > 0) return false;
else return true;
}
队列
-
- 普通队列：
// hh 表示队头，tt表示队尾
int q[N], hh = 0, tt = -1;
// 向队尾插入一个数
void push(int x)
{
q[++ tt] = x;
}
// 从队头弹出一个数
void pop()
{
hh ++;
}
// 队头的值
int front()
{
return q[hh];
}
// 判断队列是否为空
bool empty()
{
if (hh <= tt) return false;
else return true;
}
-
- 循环队列
// hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置
int q[N], hh = 0, tt = 0;
// 向队尾插入一个数
void push(int x)
{
q[++ tt] = x;
if (tt == N) tt = 0;
}
// 从队头弹出一个数
void pop()
{
hh ++;
if (hh == N) hh = 0;
}
// 队头的值
int front()
{
return q[hh];
}
// 判断队列是否为空
bool empty()
{
if (hh != tt) return false;
else return true;
}
单调栈
常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int stk[N], tt;
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
int x;
scanf("%d", &x);
while (tt && stk[tt] >= x) tt --; // 找出左边离他最近比他小的数
if (tt) printf("%d ", stk[tt]);
else printf("-1 ");
stk[ ++ tt] = x;
}
return 0;
}
单调队列
常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1000010;
int n, k;
int a[N], q[N];
int main()
{
cin >> n >> k;
for (int i = 0; i < n; i ++)
cin >> a[i];
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
if (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt --;
q[++ tt] = i;
if (i >= k - 1) cout << a[q[hh]] << ' ';
}
puts("");
hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
if (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt --;
q[++ tt] = i;
if (i >= k - 1) cout << a[q[hh]] << ' ';
}
return 0;
}
KMP
#include
using namespace std;
const int N = 100010, M = 1000010;
int n, m;
char p[N], s[M];
int ne[N]; // ne[i] = j 表示以i结尾的长度为j的最长公共前后缀
int main()
{
cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i ++)
{
while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if (p[i] == p[j + 1]) j ++;
ne[i] = j;
}
for (int i = 1, j = 0; i <= m; i ++)
{
while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if (s[i] == p[j + 1]) j ++;
if (j == n)
{
printf("%d ", i - n);
j = ne[j];
}
}
return 0;
}
Trie树
// 0号点既是根节点，又是空节点
// son[][]存储树中每个节点的子节点的编号
// cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量
// idx 是相当于给每一个节点一个编号，唯一的表示一个节点。
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int son[N][26], cnt[N], idx;
char str[N];
void insert(char str[])
{
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i ++)
{
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
p = son[p][u];
}
cnt[p] ++;
}
int query(char str[])
{
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i ++)
{
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u];
}
return cnt[p];
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n --)
{
char op[2];
scanf("%s%s", op, str);
if (op[0] == 'I') insert(str);
else printf("%d\n", query(str));
}
return 0;
}
Trie：高效地存储和查找字符串集合的数据结构，还可以存储数字的二进制形式。
并查集：
(1)朴素并查集：
int p[N]; //存储每个点的祖宗节点
// 返回x的祖宗节点，也即集合的编号 + 路径压缩
int find(int x)
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// 初始化，假定节点编号是1~n
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
// 合并a和b所在的两个集合：
p[find(a)] = find(b);
(2)维护size的并查集：
int p[N], size[N];
//p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量
// 返回x的祖宗节点
int find(int x)
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// 初始化，假定节点编号是1~n
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
p[i] = i;
size[i] = 1;
}
// 合并a和b所在的两个集合：
size[find(b)] += size[find(a)];
p[find(a)] = find(b);
(3)维护到祖宗节点距离的并查集：
int p[N], d[N];
//p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离
// 返回x的祖宗节点
int find(int x)
{
if (p[x] != x)
{
int u = find(p[x]);
d[x] += d[p[x]];
p[x] = u;
}
return p[x];
}
// 初始化，假定节点编号是1~n
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
p[i] = i;
d[i] = 0;
}
// 合并a和b所在的两个集合：
p[find(a)] = find(b);
d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量
作用：1、将两个集合合并；2、询问两个集合是否在一个集合当中。
基本原理：每个集合用一棵树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点，p[x]表示x的父节点。
问题1：如何判断树根：if (p[x] == x)
问题2：如何求x的集合编号：while (p[x] != x) x = p[x];
问题3：如何合并两个集合：px 是x的集合编号，py是y的集合编号，p[x] = y;
堆
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的
int h[N], ph[N], hp[N], size;
// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b)
{
swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
swap(hp[a], hp[b]);
swap(h[a], h[b]);
}
void down(int u)
{
int t = u;
if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
if (u != t)
{
heap_swap(u, t); // swap(h[u], h[t])
down(t);
}
}
void up(int u)
{
while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
{
heap_swap(u, u / 2); // swap(h[u], h[u / 2]);
u >>= 1;
}
}
// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);
如何手写一个堆？
1、插入一个数：heap[ ++ size] = x, up(size);
2、求集合当中的最小值：heap[1];
3、删除最小值：heap[1] = heap[size --]; down(1);
4、删除任意一个元素：heap[k] == heap[size --]; down(k), up(k);
5、修改任意一个元素：heap[k] = x, down(k), up(k);
其实操作4和5中的down操作和up操作只有一个会执行，但是由于不知道修改元素之后的值，于是都执行一遍方便操作。
一般哈希
(1) 拉链法
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 向哈希表中插入一个数，这个就和单链表差不多，只不过每个链表的头结点是存储在一个数组中。
void insert(int x)
{
int k = (x % N + N) % N; // 防止负数取余得到的是负数，cpp中是这样的。
e[idx] = x;
ne[idx] = h[k];
h[k] = idx ++ ;
}
// 在哈希表中查询某个数是否存在，先找到树对应的链表的头结点（hash函数），然后沿着链表再遍历一遍。
bool find(int x)
{
int k = (x % N + N) % N;
for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
if (e[i] == x)
return true;
return false;
}
(2) 开放寻址法
int h[N];
void insert(int x)
{
int t = (x % N + N) % N;
while (h[t] ! && h[t] != x)
{
t ++;
if (t == N) t = 0;
}
h[t] = x;
}
// 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置。一直向后遍历，如果到尾了，从头开始。
int find(int x)
{
int t = (x % N + N) % N;
while (h[t] != 0x3f3f3f3f && h[t] != x)
{
t ++ ;
if (t == N) t = 0;
}
return t;
}
字符串哈希
核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低
小技巧：取模的数用2^64，这样直接用 unsigned long long 存储，溢出的结果就是取模的结果
typedef unsigned long long ULL;
ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储 P^k mod 2^64
// 初始化
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
h[i] = h[i - 1] * P + str[i];
p[i] = p[i - 1] * P;
}
// 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值
ULL get(int l, int r)
{
return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}
树状数组
int t[N] // 每个结点t[x]保存以x为根的子树中叶结点值的和
// lowbit()lowbit()运算：非负整数xx在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
// add(x, k)表示将序列中第x个数加上k
void add(int x, int k)
{
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
t[i] += k;
}
// ask(x)表示将查询序列前x个数的和
int query(int x)
{
int sum = 0;
for(int i = x; i; i -= lowbit(i))
sum += t[i];
return sum;
}
树状数组的作用：
- 将第ii个数加上kk
- 输出区间[i,j][i,j]内每个数的和
时间复杂度：
- 单点修改：O(logn)O(logn)
- 区间查询：O(logn)
参考链接： https://www.acwing.com/solution/content/13818/
C++ STL简介
vector, 变长数组，倍增的思想
size() 返回元素个数
empty() 返回是否为空
clear() 清空
front()/back()
push_back()/pop_back()
begin()/end()
[]
支持比较运算，按字典序
pair
first, 第一个元素
second, 第二个元素
支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序）
string，字符串
size()/length() 返回字符串长度
empty()
clear()
substr(起始下标，(子串长度)) 返回子串
c_str() 返回字符串所在字符数组的起始地址
queue, 队列
size()
empty()
push() 向队尾插入一个元素
front() 返回队头元素
back() 返回队尾元素
pop() 弹出队头元素
priority_queue, 优先队列，默认是大根堆
size()
empty()
push() 插入一个元素
top() 返回堆顶元素
pop() 弹出堆顶元素
定义成小根堆的方式：priority_queue, greater> q;
stack, 栈
size()
empty()
push() 向栈顶插入一个元素
top() 返回栈顶元素
pop() 弹出栈顶元素
deque, 双端队列
size()
empty()
clear()
front()/back()
push_back()/pop_back()
push_front()/pop_front()
begin()/end()
[]
set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列
size()
empty()
clear()
begin()/end()
++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度 O(logn)
set/multiset
insert() 插入一个数
find() 查找一个数
count() 返回某一个数的个数
erase()
(1) 输入是一个数x，删除所有x O(k + logn)
(2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器
lower_bound()/upper_bound()
lower_bound(x) 返回大于等于x的最小的数的迭代器
upper_bound(x) 返回大于x的最小的数的迭代器
map/multimap
insert() 插入的数是一个pair
erase() 输入的参数是pair或者迭代器
find()
[] 注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn)
lower_bound()/upper_bound()
unordered_set, unordered_map, unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表
和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1)
不支持 lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，--
bitset, 圧位
bitset<10000> s;
~, &, |, ^
>>, <<
==, !=
[]
count() 返回有多少个1
any() 判断是否至少有一个1
none() 判断是否全为0
set() 把所有位置成1
set(k, v) 将第k位变成v
reset() 把所有位变成0
flip() 等价于~
flip(k) 把第k位取反
三、搜索与图论
树与图的存储
树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。
(1) 邻接矩阵：g [a] [b] 存储边a->b，适合于稠密图的存储
(2) 邻接表：适合于稀疏图的存储
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);
稠密图：边的数量大于等于点的数量的平方；稀疏图：边的数量大致和点的数量相同，同一数量级的。
树与图的遍历
时间复杂度 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
(1) 深度优先遍历
int dfs(int u)
{
st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}
(2) 宽度优先遍历
queue q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
q.push(j);
}
}
}
拓扑排序
- 时间复杂度 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}
朴素dijkstra算法
- 时间复杂是 O(n2+m), n 表示点数，m 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
堆优化版dijkstra
- 时间复杂度 O(mlogn), n 表示点数，m 表示边数
typedef pair PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue, greater> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
Bellman-Ford算法
- 时间复杂度 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。
int n, m; // n表示点数，m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，
// 由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) cout << "impossible" << endl;
ecout << dist[n];
}
spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
spfa判断图中是否存在负环
- 时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），
// 那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
// 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
floyd算法
- 时间复杂度是 O(n3)O(n3), nn 表示点数
初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
朴素版prim算法
- 时间复杂度是 O(n2+m), n 表示点数，m 表示边数
int n; // n表示点数
int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中
// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
if (i) res += dist[t];
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
Kruskal算法
- 时间复杂度是 O(mlogm), n 表示点数，m 表示边数
int n, m; // n是点数，m是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组
struct Edge // 存储边
{
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int find(int x) // 并查集核心操作
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
染色法判别二分图
- 时间复杂度是 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010;
int n, m; // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N]; // 表示每个点的颜色，0表示未染色，1表示白色，2表示黑色
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
bool dfs(int u, int c) // 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
{
color[u] = c;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!color[j])
{
if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
}
else if (color[j] == c) return false;
}
return true;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof h);
while (m --)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b), add(b, a);
}
bool flag = true;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
if (!color[i])
{
if (!dfs(i, 1))
{
flag = false;
break;
}
}
if (flag) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}
匈牙利算法
- 时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 510, M = 100010;
// n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int n1, n2, m;
// 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int h[N], e[M], ne[M], idx;
// 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
int match[N];
// 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过
bool st[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
bool find(int x)
{
for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true;
if (match[j] == 0 || find(match[j]))
{
match[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
cin >> n1 >> n2 >> m;
memset(h, -1, sizeof h);
while (m --)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
}
// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++)
{
memset(st, false, sizeof st);
if (find(i)) res ++;
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
四、数学知识
试除法判定质数
#include
using namespace std;
bool is_prime(int x)
{
if (x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++) // 时间复杂度：O(qirt(n))
if (x % i == 0)
return false;
return true;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
int a;
cin >> a;
if (is_prime(a)) cout << "Yes" << endl;
else cout << "No" << endl;
}
return 0;
}
试除法分解质因数
#include
using namespace std;
void divide(int x)
{
for (int i = 2; i <= x / i; i ++)
{
if (x % i == 0)
{
int s = 0;
while (x % i == 0) x /= i, s ++;
cout << i << ' ' << s << endl;
}
}
if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
cout << endl;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++)
{
int x;
cin >> x;
divide(x);
}
return 0;
}
朴素筛法求质数
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有质数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++)
{
if (st[i]) continue;
primes[cnt ++] = i;
for (int j = i + i; j <= n; j += i) // 所有是i倍数的肯定不是质数
st[j] = true;
}
}
int main() // O(nlogn)
{
int n;
cin >> n;
get_primes(n);
cout << cnt << endl;
return 0;
}
埃式筛法
#include 线性筛法求质数
// n = 1e7的时候基本就比埃式筛法快一倍了
// 算法核心：x仅会被其最小质因子筛去
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有质数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main() // O(n)
{
int n;
cin >> n;
get_primes(n);
cout << cnt << endl;
return 0;
}
试除法求所有约数
#include
#include
#include
using namespace std;
vector get_divisors(int n)
{
vector res;
for (int i = 1; i <= n / i; i++)
if (n % i == 0)
{
res.push_back(i);
if (i != n / i) res.push_back(n / i);
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n --)
{
int x;
cin >> x;
auto res = get_divisors(x);
for (auto x : res)
cout << x << ' ';
cout << endl;
}
return 0;
}
约数个数
#include 如果 N = p1^c1 * p2^c2 * … *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * … * (ck + 1)
约数之和
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * … *pk^ck
约数之和： (p1^0 + p1^1 + … + p1^c1) * … * (pk^0 + pk^1 + … + pk^ck)
欧几里得算法
#include
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
while (n --)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
printf("%d\n", gcd(a, b));
}
return 0;
}
求欧拉函数
int phi(int x)
{
int res = x;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
筛法求欧拉函数
#include
#include
using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 1000010;
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
int phi[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
LL get_eulers(int n)
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++)
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
break;
}
phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
}
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) res += phi[i];
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
cout << get_eulers(n) << endl;
return 0;
}
快速幂
求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。
int qmi(int m, int k, int p)
{
int res = 1 % p;
while (k)
{
if (k & 1) res = res * m % p;
m = m * m % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
扩展欧几里得算法
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1; y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a/b) * x;
return d;
}
高斯消元
// a[N][N]是增广矩阵
int gauss()
{
int c, r;
for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
{
int t = r;
for (int i = r; i < n; i ++ ) // 找到绝对值最大的行
if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
t = i;
if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行换到最顶端
for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c]; // 将当前行的首位变成1
for (int i = r + 1; i < n; i ++ ) // 用当前行将下面所有的列消成0
if (fabs(a[i][c]) > eps)
for (int j = n; j >= c; j -- )
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
r ++ ;
}
if (r < n)
{
for (int i = r; i < n; i ++ )
if (fabs(a[i][n]) > eps)
return 2; // 无解
return 1; // 有无穷多组解
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
return 0; // 有唯一解
}
递归法求组合数
// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
if (!j) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
通过预处理逆元的方式求组合数
首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
Lucas定理
若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：
C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)
int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
int res = 1 % p;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int C(int a, int b, int p) // 通过定理求组合数C(a, b)
{
if (a < b) return 0;
LL x = 1, y = 1; // x是分子，y是分母
for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ )
{
x = (LL)x * i % p;
y = (LL) y * j % p;
}
return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(LL a, LL b, int p)
{
if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}
分解质因数法求组合数
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
1. 筛法求出范围内的所有质数
2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。
n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘
int primes[N], cnt; // 存储所有质数
int sum[N]; // 存储每个质数的次数
bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n) // 线性筛法求素数
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int get(int n, int p) // 求n！中的次数
{
int res = 0;
while (n)
{
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
vector mul(vector a, int b) // 高精度乘低精度模板
{
vector c;
int t = 0;
for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
{
t += a[i] * b;
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (t)
{
c.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return c;
}
get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数
{
int p = primes[i];
sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘
for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
res = mul(res, primes[i]);
卡特兰数
给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为：
Cat(n) = C(2n, n) / (n + 1)
NIM游戏
给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足：
由两名玩家交替行动；
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
不能行动的玩家判负；
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
Mex运算
设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S
SG函数
在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。
有向图游戏的和
设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)
定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。
五、动态规划
数字三角形模型
#include 最长上升子序列模型
#include 最长公共子序列模型
#include 01背包模型
- 普通版：
#include - 优化版：
#include 完全背包模型
- 普通版：
#include - 优化版：
#include 多重背包模型
- 普通版：
#include - 优化版：
#include - 二进制优化
#include - 单调队列优化
#include 分组背包模型
- 普通版：
#include - 优化版：
#include 区间dp模型
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][i] = 初始值
}
for (int len = 2; len <= n; len++) //区间长度
for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { //枚举起点
int j = i + len - 1; //区间终点
for (int k = i; k < j; k++) { //枚举分割点，构造状态转移方程
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);
}
}