多面体与球：「2011年全国卷题15」 「2012年全国卷题11」

2011年全国卷题15

15.已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ，则棱锥 的体积为 .

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【解析】

如图所示，记对角线 的交点为 . 是直角三角形，依据勾股定理可得：

是等腰三角形， 是直角三角形，所以

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2012年全国卷题11

（11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为

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【解析】

如图所示， 是正三角形，其外接圆的直径

其面积

因为 为球 的直径，所以 是直角三角形，所以

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