线性筛求欧拉函数

对于欧拉函数的求法最常用的有两方式

1. 试除法
2. 线性筛法

试除法比较简单，这里就不解释了。

这里主要介绍线性筛法求欧拉函数。

我们先了解什么是欧拉函数：
$$1\sim N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为\phi (N)。$$
对于一个整数 $N$:

1. 如果 $N$ 为素数的话：那么在小于等于N中，与 $N$ 互质的为 $1\sim N-1$，就是 $N-1$；
2. 如果 $N$ 不为素数的话：那么我们可以用到一个积性函数定理 $f(n\ast m)=f(n)\ast f(m)$，那么就可以进行拆分计算。

那么我们就可以用素数筛的板子，然后进行加入一些语句就可以实现线性筛求欧拉函数。
先说区别区别点吧：
第一个：

if(!used[i])
 {
     phis[i] = i-1;
     primes[++cnt] = i;
 }

第一个可以由上述 1 可以解释出来。
第二个：

if(i % primes[j] == 0)
{
    phis[i * primes[j]] = primes[j] * phis[i];
    break;
}
phis[i * primes[j]] = (primes[j] - 1) * phis[i];

这里就是素数筛的板子，然后加了点东西。

1. 第一个语句中：如果 $i\mathrm{mod}primes[j]$ 为 0 的话，那么 $i$ 包括了 $m$ 的所有的质因子，那么 $\phi (m)=primes[j]\ast \phi (i)$。
   证明：因为 $i$ 包括了 $m$ 的所有质因子，所以 $\phi (m)=m\ast {\prod }_{k=1}^s(1-\frac{1}{p_k})=primes[j]\ast i\ast {\prod }_{k=1}^s(1-\frac{1}{p_k})=primes[j]\ast \phi (i)$。
   例如：$\phi (28)=2\ast \phi (14)$。
2. 第二个语句中，如果 $i\mathrm{mod}primes[j]$ 不为 0 ，那么两个数互质，又通过上面的性质1得到 $\phi (m)=(primes[j]-1)\ast \phi (i)$。

下面就是代码环节，结合素数筛更好理解。
对应例题：
洛谷：T349752 筛法求欧拉函数

#include
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int primes[N],used[N],cnt; // 素数筛的变量
int phis[N];  // 定义的是每个整数对应的欧拉值是多少。
void phi(int x)
{
    cnt = 0;
    phis[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= x; i++)
    {
        if(!used[i])
        {
            phis[i] = i-1;
            primes[++cnt] = i;
        }
        for(int j = 1; i * primes[j] <= x; j++)
        {
            used[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phis[i * primes[j]] = primes[j] * phis[i];
                break;
            }
            phis[i * primes[j]] = (primes[j] - 1) * phis[i];
        }
    }
}

void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    phi(n);
    long long res = 0;
    for(int i =1 ; i <= n; i++)
    {
        res += phis[i];
    }
    cout << res << endl;
}

signed main ()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T = 1;
//    cin >> T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}