51 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

题解1 dp

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        int i = 2;
        while(i < n+1){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
            i ++;
        }
        return dp[n];
    }
};

省点空间——斐波那契数列

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        // p: f(i-2) q:f(i-1)
        // r = f(i)
        int p{0}, q{0}, r{1};
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            p = q;
            q = r;
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
};

题解2 矩阵快速幂（适合n小，重点学习方法）

class Solution {
public:
    vector<vector<long long>> multiply(vector<vector<long long>> &a, vector<vector<long long>> &b) {
    	// size和 矩阵a*b的维度有关
        vector<vector<long long>> c(2, vector<long long>(2));
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }

    vector<vector<long long>> matrixPow(vector<vector<long long>> a, int n) {
   	 // |ret| = 1
        vector<vector<long long>> ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
        // 奇数，存着
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            // 快速幂：n/2-a*a
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    int climbStairs(int n) {
        vector<vector<long long>> ret = {{1, 1}, {1, 0}};
        vector<vector<long long>> res = matrixPow(ret, n);
        return res[0][0];
    }
};