AtCoder ABC 131

C - Anti-Division（ATC经典题型 + lcm）

Description:

​ 给你一段区间[a, b] (<= 1e18)，请问区间中有多少数字是满足又不被c整除，又不被d整除

Solution:

​ 由于区间范围大，不可能暴力枚举。我们直接容斥一下，找区间中被c整除和被d整除的个数

​ 容易想到用区间长度分别除c和d得到个数，但是仅仅对[1, x]能这样做，我们就用一下前缀和的思想[a, b] = [1, b] - [1, a - 1]就好，发现样例过不了，观察发现原来是发生了重复计算，比如2和3都被6整除，本来贡献应该为1，但是这样算的话，贡献为2了。我们就找一下c和d的最小公倍数，然后得到区间中重复计算过的被lcm的倍数所整除的个数，减去这个数就是正解了

Code:

int main()
{
    cin >> a >> b >> c >> d;
    LL res1 = b - (b / c + b / d - b / lcm(d, c));
    LL res2 = (a - 1) - ((a - 1) / c + (a - 1) / d - (a - 1) / lcm(d, c));
    cout << res1 - res2;
}

E - Friendships（图论 + 构造）

Description:

​ 给出n和k，表示无向联通图中有n个点，你可以任意连边，输出能构造出k条两点间最短路为2的图的连边方案。

Solution:

​ 需要从图的性质入手，无向连通图意味着图中最少需要有n - 1条边才能保证联通。如果连接一条边的话，对两个端点的影响就是使两个端点的最短路长度为1了。可以推得：边数越多，最短路长度为2的路越少。考虑一种卫星式的连接方案，此时最短路为2的边数有(n - 1) * (n - 2) / 2条，这是k的最大值，若k大于该值，必然不可能构成，在这个方案的基础上，我们来减少最短路为2的路的数量。由于连接一条边，可以使两个端点最短路长度为1，我们就找两个最短路长度为2的端点来连接。为了便于输出不同的方案，从1和其他边开始连边，连到n - 1的时候，将1变成2继续连边，以此类推。

Code:

int n, k;
struct node {
    int u, v;
    node(){}
    node(int a, int b):u(a), v(b){}
};
vector<node> g;

int main()
{
    cin >> n >> k;
    int m = (n - 1); //若要保证图的连通性，最少需要n - 1条边 
    //因为一条边会使一条路径长度变成1 所以边越多 长度为2的路径越少
    if(n == 0)
    {
        cout << -1;
        return 0;
    }

    int sum = m * (m - 1) / 2; //以一个点为中心点，其他店全部直接与其相连，可以得到最多的长度为2的边数
    if(k > sum)
    {
        cout << -1;
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        g.push_back(node(i, n)); //(n - 1)(n - 2) / 2条边
    
    int i = 1, j = 2;
    while(sum != k) //连一条边，减少一个答案
    {
        sum --;
        g.push_back(node(i, j));
        j ++;
        if(j == m + 1)  i ++, j = i + 1;
    }

    cout << g.size() << '\n';
    for(auto x : g)
        cout << x.u << ' ' << x.v << '\n';
}