[Swust OJ 247]--皇帝的新衣(组合数+Lucas定理)

 

题目链接：http://acm.swust.edu.cn/problem/0247/

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Description

在很久很久以前，有个臭美国王。一天，他得到了一件新衣，于是决定巡城看看老百姓的反应(囧)。于是他命令可怜的宰相数一下他有多少种巡城方案。 
城市是一个N*M的矩形，(N+1)*(M+1)条街把城市分成了N*M块。国王从左下角出发，每次只能向右或向上走，右上角是终点。 
请你帮帮可怜的宰相。

 

Input

每组测试数据有3个值 n m p(0< n <=1000000000,0 < m <=1000000000，p为质数且p<400). 

 

Output
多组测试数据 0 0 0结束。

输出方案数 因为数据太大 请 mod p

 

Sample Input

2 3 97 20 40 37 0 0 0

Sample Output

10 32

 

Hint

2009暑期ACM集训组队赛《一》 -- 剑问苍生

 

解题思路：从左下角到右上角的方案数，那么(假设方阵大小n*m)

　　　　　(1)向上必须移动n格，向右必然移动m格

　　　　　(2)只需要以向上或向右移动为基准求C(n+m) n 或者C(n+m) m的组合数即可，好好想想为什么吧~~~~

　　　　　　  可以有一个优化组合数上面的去n,m中的较小值(组合数性质)

　　　　　(3)发现n,m<=1000000000那么在求组合数的时候肯定会直接爆掉，那怕是在求的过程中不断MOD 数p，

　　　　　　　那么我们以p的上限值为界求组合数，运用Lucas定理求解

 

Lucas定理：(详情可以戳戳这里：http://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4588362.html)

　　　　　　Lucas定理用来求C（a,b）mod p的值,其中p为素数。
　　　　　　数学表达式为：
　　　　　　Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);
　　　　　　Lucas(a,0,q)=0;

　　　　　　模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
　　　　　　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
　　　　　　(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
　　　　　　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
　　　　　　a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

 

代码如下：

 1 #include <iostream>

 2 #include <cstring>

 3 #include <algorithm>

 4 #define maxn 405

 5 using namespace std;

 6 long long dp[maxn][maxn], n, m, p;

 7 long long Lucas(long long n, long long m, long long p){

 8     //Lucas定理

 9     if (n <= p && m <= p)

10         return dp[n][m];

11     else

12         return (Lucas(n / p, m / p, p)*dp[n%p][m%p]) % p;

13 }

14 

15 //杨辉三角求组合数

16 void init(){

17     int i, left, right;

18     for (i = 1; i <= p; i++){

19         dp[i][0] = dp[i][i] = 1;

20         left = 1, right = i - 1;

21         while (left <= right){

22             dp[i][left] = (dp[i - 1][left - 1] + dp[i - 1][left]) % p;

23             dp[i][right--] = dp[i][left++];//组合数性质dp[i][j]=dp[i][i-j];

24         }

25     }

26 }

27 int main(){

28     while (cin >> n >> m >> p && n && m && p){

29         memset(dp, 0, sizeof(dp));

30         init();

31         cout << Lucas(n + m, min(n, m), p) << endl;

32     }

33     return 0;

34 }

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乱搞的Java代码如下：

 1 import java.math.*;

 2 import java.io.*;

 3 import java.util.*;

 4 public class Main{

 5     static int DP[][] = new int[401][401];

 6     static int p;

 7     public static void main(String[] args)

 8     {

 9         Scanner cin = new Scanner(System.in);

10         int a, b;

11         while (cin.hasNext()){

12             a = cin.nextInt();

13             b = cin.nextInt();

14             p = cin.nextInt();

15             if (a == 0)

16                 break;

17             initDp();

18             System.out.println(sloveRe(a + b, b > a ? a : b));

19         }

20     }

21     private static void initDp(){

22         int i, j;

23         for (i = 0; i <= p; i++){

24             DP[i][0] = 1;

25         }

26         for (i = 1; i <= p; i++){

27             for (j = 1; j <= p; j++){

28                 DP[i][j] = (DP[i - 1][j] + DP[i - 1][j - 1]) % p;

29             }

30         }

31     }

32     private static int sloveRe(int n, int m){

33         if (n <= p&&m <= p)

34             return DP[n][m];

35         else

36             return  (sloveRe(n / p, m / p)*DP[n%p][m%p]) % p;

37     }

38 }

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