蓝桥杯——杨辉三角分析总结

题目描述

下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯

给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N是在第几个数？

输入描述

输入一个整数 NNN。

输出描述

输出一个整数代表答案。

输入输出样例

示例：输入6，输出13

评测用例规模与约定

对于 20% 的评测用例，1≤N≤10​； 对于所有评测用例，1≤N≤1000000000

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

分析总结：获取到杨辉三角，在此基础上查找某个数第一次出现的位置，最初的想法是用vector>来保存一张很大的杨辉三角，但对于最大测试用例1000000000来说，运算的时间和保存的空间不可接受，且遍历整张表查找元素确实有点可爱。所以从节约空间出发，用一个二维数组只维护上一行和这一行,以递推的形式逐渐向后搜索，与此同时判断当前元素是否是要查找的元素，在递推杨辉三角的过程中可以发现每一行都有对称的情况，所以只需递推出每行的一半即可，

但即使是这样也无法解决n取100000000时的情况，通过观察发现当n比较大时，例如n取14，在递推查找的过程中，当当前行第三列的数大于14时，那么14就只能出现在递增的第二列，因为当前行第三列元素向右和向下都是增加的，此时就可以跳出递推过程，通过数学方法直接计算出n的位子，对于n取14的情况数学公式是(n+1)*(n/2)+(n%2)*(n/2+1)。

编写代码时实际考虑的关系是下图

最终的代码如下：

#include
#include
#include
typedef long long LL;
using namespace std;
LL a[2][23000];//a[0]用来维护第三行，a[1]用来维护第四行，此后a[0],a[1]交替维护
int main()
{
	LL n,flag=0,row=3;//flag是标志为，用于交替执行递推三角函数的代码块，row是当前行
	LL t;//列
	LL index=1;//计数器，统计当前元素是杨辉三角中的第几个元素
	scanf("%lld",&n);
	if(n==1)//对n=1的情况进行特判，因为是从第三行开始递推的
	{
		printf("%d",index);
		system("pause");
		return 0;
	}
	a[0][1]=1;//每一行的第一个元素都是1
	a[1][1]=1;
	index+=2;
	while(true)
	{
		index++;
		if(flag==0){
		for(t=2;t<=row%2+row/2;t++){
			if(t!=row%2+row/2)
			{
				index++;
				a[1][t]=a[0][t]+a[0][t-1];
				//printf("%lld ",a[1][t]);
			}else{
				index++;
			    a[1][t]=2*a[0][t-1];
				//printf("%lld\n",a[1][t]);
			}
			if(a[1][t]==n)
			{printf("%lld",index);system("pause");return 0;}
			if(a[1][3]>n)//观察杨辉三角的第三列发现当第三列是数大于要找的n时,n就只能存在于第2列(按顺序递增的那一列)
			{
				LL sum=0;
				sum=(1+n)*(n/2)+(n%2)*(n/2+1);
				printf("%lld",sum+2);system("pause");return 0;
			}
		}
		index+=row-(row%2+row/2);
		flag=1;
		}
		else if(flag==1)
		{
			for(t=2;t<=row%2+row/2;t++){
				a[0][t]=a[1][t]+a[1][t-1];
				index++;
				//printf("%lld ",a[0][t]);
				if(a[0][t]==n)
			{printf("%lld",index);system("pause");return 0;}
				if(a[0][3]>n)
				{
					
				  LL sum=0;
				sum=(1+n)*(n/2)+(n%2)*(n/2+1);
					printf("%lld",sum+2);system("pause");return 0;
				}
		}
			index+=row-(row%2+row/2);
			//printf("\n");
			flag=0;
		}
		row++;
	}
	system("pause");
	return 0;
}

 在实际提交测试的过程中发现,对于这道题最容易出错的是对数据取值范围,对于数据比较大的情况，除了将用到的数据类型定义成longlong型,a数组的中每行的列数定义成多少关乎是否越界导致错误,预估数据规模是很重要的，根据上面的规律，当前行的第三列大于1000000000是在第44723行，该行保存的元素44723/2=22362个，故数组a定义的列数至少要大于22362，才不会溢出，一旦溢出，前功尽弃。细节！！