XTU-OJ 《C语言程序设计》 1223-Repeat One

题目描述

求由最小的一个N，N个数码1组成的数能被M整除？ 比如M=3时，111能被3整除。M=2时，则不存在这样的N。

输入

第一行是一个整数K(K≤1,000),表示样例的个数。 以后每行一个整数M(1≤M≤1,000,000)

输出

每行输出一个样例的结果，如果不存在这样的N，输出0。

样例输入

 5
 1
 2
 3
 4
 999989

样例输出

 1
 0
 3
 0
 473670

解题思路： 这里我们设 X 是由 N个1 组成的数。

这题该怎么做呢，到底这个最小的N该怎么求，好像没有什么方法可以直接算出来。那怎么办？硬着头皮试吧。

如果有 X % M == 0，是不是就表明，X 可以被M整除，那么就存在这样的一个N，满足题目要求。所以就从最小的1开始，1 不行就试 11，11 不行就试 111，不行再 1111 、11111、 111····111。 应该总能试出来吧。

若是所有M取值都这样一个一个单纯的尝试，那是不是有点太呆了。我们能不能让它更简单一点？

• 想想看，X 都是由 1 组成的，那它是不是永远不可能被 偶数 和 5的倍数 整除。所以对于这类的 M，不存在X 能被M整除 。这时的 N 一定为 0，这样我们一下就判断出了绝大多数的情况。

• 然后思考--问题1：那到底要试多少轮？才能找到这样的 X 呢？并且除了上面两种情况外，还是存在不能整除X的M。不行的就是不行，试多少次都试不出来的。如果不限制尝试次数的话，就可能一直循环下去，造成死循环。这个问题我们先暂时放一边，等下再来思考。

• 我们先思考--问题2：随着N的增大， X 会从 1 、11、111 增大到 111···111，X 会逐渐变得很大很大，大到计算机都表示不出来，那我们有没有什么方法可以防止出现这种情况呢？答案是有的——模运算。

  • 什么是模运算？这里有模运算的三个基本运算式：

    (a + b) % p = (a % p + b % p) % p

    (a - b) % p = (a % p - b % p) % p

    (a * b) % p = (a % p * b % p) % p

    例： 111 % 3 = ( 11*10 + 1) % 3 = ( (11*10) % 3 + 1%3) % 3 = ( (11 % 3)*10 + 1) % 3

  • 思考题目，假设 M = 3。

    当 N = 2 时， 判断 11 % 3 == 0，如果是，则找到最小的N，不是则  N+1。

    下一轮N = 3 ，  此时判断  111 % 3 == 0，

    结合例题，有没有发现什么？ 111 % 3 和 11 % 3 之间有什么联系？ 上一轮的取模结果，可以保持为当前判断的因式

  • 这样我们每次取模(%)判断这个数能否能被M整除的同时，又对数值进行了放缩，让数值大小始终控制在一个范围，不会出现数值越界的情况。（这就是模运算的妙用）

• 现在来解决问题1：

  我们对每轮都进行 X = X % M 判断; 因为若 X == 0，则已经能被M整除，输出当前N的数值，反之 再增加 X 的值。

  取模后X的范围一定是 [0，M-1]，即 X%M 有 M 种取值情况。即便前M轮，X%M将所有的值都取一遍，那第M+1轮之后，模的取值一定会发生重复。模取值发生重复代表了什么？ 一旦重复了，是不是就意味着会出现循环，之后的所有取模值，都是固定可预见的。

  所以如果在前M轮中，没有判断出 X % M == 0，那么之后X如何增加，都是无法得出 X 能被 M 整除这个结论的。因为之后都是对前M轮的重复判断。

  所以结合问题2的结论，只要判断前 M 次，就能够验证是否存在一个X，可以被M整除。

思路理清完毕，开始编程。

AC代码：

#include

int main()
{
    int K,N,M,X,flag;
    scanf("%d",&K);
    while ( K --)
    {
        scanf("%d",&M);
        X = 1;
        flag = 0;
        if ( M%2 == 0 || M%5 == 0)
            flag = 0;
        else
        {
            for (N = 1; N <= M; N ++)
            {
                X %= M;
                if (X == 0)       // 如果X == 0,表明可以被整除
                {
                    flag = 1;     //   flag(能被整除标志置1)
                    break;
                }
                X = X*10 + 1;     //  实现从1 ->  11 -> 111 增长的功能
            }
        }
        if (flag == 1)
            printf("%d\n",N);   // 输出最小X中1的数,即N的值
        else
            printf("0\n");
    }
}