程序员的数学基础课

参考：程序员的数学基础课

第一章：二进制

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1、什么是二进制计数法？

理解二进制之前，先理解十进制。十进制的基数是10，例如：2871 = 210^3 + 810^2 + 710^1 + 110^{0，可以看到十进制的数位全部都是10}n的形式。

明白了十进制，同理二进制的基数就是2，二进制的数位就是2^n的形式，例如110101为二进制，表示为十进制：

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按照这个思路，我们可以推导出八进制、十六进制等。

基于此，我们来看看二进制、十进制、八进制和十六进制在python中是如何互相转换的，并验证我们之前的推断。

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2、二进制的位操作

常见的二进制位操作包括向左移位和向右移位操作，以及“或” “与” “异或” 的逻辑操作。下面我们一一来看。

向左移位

二进制 110101 向左移一位，就是在末尾添加一位 0，因此 110101 就变成了 1101010。请注意，这里讨论的是数字没有溢出的情况。

所谓数字溢出，就是二进制数的位数超过了系统所指定的位数，目前主流的系统都支持至少32位的整型数字。如果进行左移操作的二进制已经超出了32位，左移后数字就会溢出，需要将溢出的位数去除。

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在这个例子中，如果将1101010换算为十进制，int(0b1101010)，就是106，正好是53的二倍。 所以，我们可以得出一个结论：二进制左移一位，其实就是将数字翻倍。

向右移位

二进制 110101 向右移一位，就是去除末尾的那一位，因此110101就变成了11010。我们将11010换算为十进制，int(0b11010) 等于 26。正好是53除以2的整数商，所以二进制右移一位，就是将数字除以2的整数商。

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接下来我们看看代码中如何进行移位操作：

image

对10进行左移2位，5进行右移2位，结果:

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位的“或”

或

num1 = 0b110101
num2 = 0b100011
print(bin(num1 | num2))
//  output:  0b110111

位的“与”

与

num1 = 0b110101
num2 = 0b100011
print(bin(num1 & num2))
//  output:  0b100001

位的“异或”

异或

num1 = 0b110101
num2 = 0b100011
print(bin(num1 ^ num2))
//  output:  0b10110

总结

1. 什么是二进制？
   十进制使用 10 作为基数，x 进制使用 x 作为基数, x 进制的数位>就是 x^n 的形式
2. 计算机为什么使用二进制？
   二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点；二进制非常适>合逻辑运算
3. 二进制的位操作
   
   二进制左移一位，就是将数字翻倍。二进制右移一位，就是将数字除以2并求整数商。
   
   • 或：参与操作的位中，只要有一个是1，最终结果就是1
   • 与：参与操作的位中，必须全都是1，最终结果才是1
   • 异或：参与操作的位相同，最终结果就为0，否则为1

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第二章：余数

1. 余数的特性：整数是没有边界的，它可能是正无穷，也可能是负无穷。余数却总是在一个固定的范围内。生活中，余数可以用来算星期，web编程中可以用在分页中
2. 同余定理：两个整数 a 和 b，如果它们除以正整数 m 得到的余数相等，我们就可以说 a 和 b 对于模 m 同余
3. 哈希(Hash)：每个编程语言都有对应的哈希函数。哈希有的时候也被翻译为散列，简单来说就是将任意长度的输入，通过哈希算法压缩为某一固定长度的输入

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第三章：迭代法

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