大数取模运算Barrett reduction

Barrett reduction

约减概述

约减的定义(reduction):$z(\mathrm{mod}p)$
优化约减的目的:取模操作的底层实现往往使用到的是除法，而除法操作往往是较为耗时的，因此需要把除法操作替换为不那么费时的其他操作。

Barrett 约减概述

单模数多约减：多个约减操作，其模数$p$是固定的，而$z$不同。
针对单模数多约减的情况，可以使用Barrett约减来进行优化操作。
Barrett约减算法的整体流程可以概括如下:
step 1.根据p，选定b和k，其中b代表的是基，满足$b\ge 3$,$k=\lfloor lo{g}_b^p\rfloor +1$,$0\le z$$<b^{2k}$。
step 2.预计算 $\mu =\lfloor b^{2k}/p\rfloor$。
step 3.构造$\hat{q}$，使得$q-2\le \hat{q}\le q$ （不等式1）
step 4.优化计算$r=z-\hat{q}\ast p$
step 5.在两步减法操作内，计算得到最终的r

算法2.14中，使用荧光笔标记了一些运算过程,其中绿色代表移位操作，粉色代表乘法操作，黄色代表加减操作，蓝色代表预处理操作。因此，整个过程，将除法转化为移位、乘法、加减等操作，从而实现了约减去的目的。
此外，对于$r=z-\hat{q}\ast p$的计算，也存在优化的操作。记$z=z_1\ast 2^{k+1}+z_0$,$\hat{q}\ast p=u_1\ast 2^{k+1}+u_0$。根据推导可以得出$0\le z-\hat{q}\ast p<b^{k+1}$（不等式2），因此先计算$z_0-u_0$（对应算法2.14的第3行），但当存在从$z_1$借位的时候，$z_0-u_0<0$，因此此时需要再加上$b^{k+1}$（对应算法2.14的第4行）。

正确性证明

下面主要对于不等式1和不等式2进行数学推导与证明。