2021-06-08-01
（本题来源：奥数教程 高一年级 第三版 熊斌 冯志刚 李兴怀 集合的分划 P37 例8）
将正整数集拆分为两个不相交的子集、,满足条件:
(1);
(2)中没有两个不同的元素,使它们的和形如;
(3)中也没有两个不同的元素,其和具有上述形式.
证明:这种拆分可以以唯一的方式实现,并确定1987,1988,1989所属的子集.
分析
对任意的自然数,总存在非负整数,使,若,则存在或两种可能,只要将与置于不同集合即可.
证明
因为,所以.设对小于的数均有惟一的归属,且满足条件(1)、(2)、(3).考虑,总有自然数,使
若,,因,故.这时,对中任一元素,有
而,所以不能写成的形式.条件(1)、(2)、(3)成立.
若,则,故.这时,对中任一元素,
条件(1)、(2)、(3)成立.
若,则,所以必须令与在不同的集合中.这时,设,且与在同一集合中,则而.所以,条件(1)、(2)、(3)仍然成立.
这说明所说的拆分可以惟一地实现.
由于,而,所以.
同理可知,.
2021-06-08-02
（本题来源：奥数教程 高一年级 第三版 熊斌 冯志刚 李兴怀 集合的分划 P38 例9）
平面上横纵坐标都为有理数的点称为有理点.求证:平面上的全体有理点可分成3个两两不相交的集合,满足条件:
(i)在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合;
(ii)在任何一条直线上都不可能有3个点分别属于这3个集合.
分析
由有理数的稠密性知,以坐标平面上任何点为圆心,任何正数为半径的圆内都有无数多个有理点.关键是怎样使这些点分属三个不同的集合,这似乎比较容易办到.如果直线上有1个以上的有理点,则直线方程化简后的系数必皆为有理数,这时直线上有无数多个有理点,如果分划能使同一直线上的有理点至多属于分划的两个子集,则问题获解.
证明
显然,任一有理点均可惟一地写成的形式,其中、、都是整数,且.
令
让我们来验证这3个集合满足条件(i)和(ii).
设平面上的直线方程为
如果其上有两个不同的有理点和,则有
如果,则可取、为有理数.如果,不妨设,于是,从上面的联立方程中可解得和的值,当然都是有理数.再通分即知,可以使、、都是整数且满足.
设有理点在直线上,于是,有
(1)先证集合、、满足条件(ii).分三种情形.
(a).若,则由上式可知,从而,此与矛盾.所以,集合中的点都不能在直线上.
(b).若,则,从而.因此,集合中的点都不能在直线上.
(c).由上式得.又因,故.所以.这表明集合中的点都不在直线上.
综上可知,、、这三个集合满足条件(ii).
(2)再证满足条件(i).
设是以有理点为圆心,以为半径的圆.取正整数,使得
于是易验证,下列3个有理点
都在的内部.注意,在上述3点中,、、不一定互质.但由于,故约分之后不改变分子的奇偶性.这表明条件(i)成立.
2021-06-08-03
（本题来源：奥数教程 高一年级 第三版 熊斌 冯志刚 李兴怀 集合的概念与运算 P40 例10）
设,.对的任一非空子集,当中任意两数之和不属于时,称为自由集.如果,,且、均为自由集,那么称有序对为的一个划分.试求的所有划分的个数.
解
对,若时或或,则称与“有关”.易知,与1有关的数仅有1000和2002,与1000和2002有关的都是1和
1003,与1003有关的为1000和2002.
将1,1003,1000,2002分为两组,,其中一组中的数仅与另一组中的数有关,我们将这样的两组叫做一个“组对”.同样可划分其他各组对,;,;;,;,.
这样中的2002个数被分划成501个组对,共1002组.
由于任意数与且只与对应另一组有关,所以,若一组对中一组在中,另一组必在中.
反之亦然,且与中不再有有关的数.故的划分的个数为.