线性回归原理

1、 线性回归的原理

1.1 线性回归应用场景

房价预测
销售额度预测
金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子

1.2 什么是线性回归

1.2.1定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。

• 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归
  

那么怎么理解呢？我们来看几个例子

期末成绩 = 0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。

1.2.2 线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。

• 线性关系
  
  

注释：如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系
更高维度的我们不用自己去想，记住这种关系即可

注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？我们后面 讲解过拟合欠拟合重点介绍
如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为：

1.2.3 广义线性模型

非线性关系？
线性模型
1、自变量一次
y = w1x1 + w2x2 + w3x3 + …… + wnxn + b
2、参数一次
y = w1x1 + w2x1^2 + w3x1^3 + w4x2^3 + …… + b

1.2.4 线性关系&线性模型

1、线性关系一定是线性模型
2、线性模型不一定是线性关系

2、线性回归的损失函数和优化原理（理解记忆）

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系

真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来。

2.1 损失函数

总损失定义为：

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

2.2 优化算法

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

线性回归经常使用的两种优化算法

• 优化方法？

  1. 正规方程

     • 天才 - 直接求解W
       拓展：
       1)求导，得到最大最小值：
       y = ax^2 + bx + c
       y’ = 2ax + b = 0
       x = - b / 2a
       2)矩阵逆计算：
       a * b = 1
       b = 1 / a = a ^ -1
       A * B = E
       [[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 1]]
       B = A ^ -1

  2. 梯度下降
     勤奋努力的普通人
     试错、改进

• 正规方程
  

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果