暴力递归转动态规划（八）

棋盘问题
将棋盘最左下角当作是平面直角坐标系的原点（0，0）位置，那么这个棋盘横坐标上就是9条线，纵坐标就是10条线，给定三个参数a、b、k，返回“马”从（0，0）位置出发，必须走K步，最后落在（a,b）上的方法数有多少种？

暴力递归
依然是先从暴力递归的方式开始分析，暴力递归方法要返回最大的方法数，而“马”在棋盘上可以向四周8个方向随意跳动，所以需要将每种方向跳动的结果集方法数进行累加。
base case：
第一个是当“马” 跳出棋盘范围。
第二个是当剩余 步数 为 0，此时如果正好落在（x,y）的位置，证明有一种方法。

//主方法，马从(0,0)位置开始跳
public static int jump(int a, int b, int k) {
        return process(0, 0, k, a, b);
    }

    //返回最大方法数
    //x,y 当前马的位置
    //a,b 目标位置
    //rest 剩余步数
    public static int process(int x, int y, int rest, int a, int b) {
    	// 当马跳出棋盘范围，return 0
        if (x > 8 || x < 0 || y > 9 || y < 0) {
            return 0;
        }
        //当步数为0时，如果落在了 ab位置，说明有一种方法数
        if (rest == 0) {
            return (x == a) && (y == b) ? 1 : 0;
        }
        int ways = 0;
		//马每次都可以在棋盘上向四周8个方向跳。将所有方法数累加。
		//每跳一次，步数 - 1，x,y根据 象棋中 马走日的规则进行调整 
        ways += process(x + 2, y + 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 2, y + 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 1, y + 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x + 1, y + 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 2, y - 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x + 2, y - 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 1, y - 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x + 1, y - 2, rest - 1, a, b);
        return ways;
    }

动态规划
继续根据暴力递归方法来改写动态规划，暴力递归方法中的可变参数为x,y和k，步数每次 - 1 ，xy是马的当前位置。所以这个dp表的构建和以往不同，是个三维数组。
接下来确定数组大小：

1. k是步数，并且可以步数为0，所以k的 范围是 K + 1。
2. xy是当前马的位置，并且只能在棋盘范围内跳动所以xy的大小是9,10
3. 所以dp表的整体大小是 dp[9][10][K + 1]。

接下来根据暴力递归中的base case来给数组进行初始化赋值。
当rest剩余步数为0时，如果此时xy正好在ab上，则方法数为1。所以 dp[a][b][0] == 1。
因为是3维数组，所以先填充最底层的rest，根据是rest的依赖关系来确定xy的值，而根据暴力递归代码可以看出，rest是每次 - 1，所以从0开始填充。
代码
代码中需要注意的是pick方法，因为马可能会跳出棋盘，遇到这种情况不用统计，利用pick进行过滤即可。

public static int dp(int a, int b, int k) {
        int[][][] dp = new int[9][10][k + 1];
        dp[a][b][0] = 1;

        for (int rest = 1; rest <= k; rest++) {
            for (int x = 0; x < 9; x++) {
                for (int y = 0; y < 10; y++) {
                    int ways = pick(dp,x + 2, y + 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x - 2, y + 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x - 1, y + 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x + 1, y + 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x - 2, y - 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x + 2, y - 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x - 1, y - 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp,x + 1, y - 2, rest - 1);
                    dp[x][y][rest] = ways;
                }
            }
        }
        //因为题意要求从(0,0)出发，经过K步后的方法数，所以上面dp表构建完成后，获取dp[0][0][K]位置的值。
        return dp[0][0][k];
    }

    public static int pick(int[][][] dp, int x, int y, int rest) {
        if (x > 8 || x < 0 || y > 9 || y < 0) {
            return 0;
        }
        return dp[x][y][rest];
    }