十进制小数 与 二进制小数 互转

1、十进制小数 转 二进制小数

公式

1. 小数 * 2得到n1, 将n1的整数作为二进制数第一位；
2. n1的小数 * 2得到n2, 将n2的整数作为二进制数第二位；
3. n2的小数 * 2得到n3, 将n3的整数作为二进制数第三位；
4. … 重复以上步骤，直到小数部分为0或者达到指定的精度即可。

例子一: 十进制0.1转二进制

0.1 * 2 = 0.2 →取整数部分0
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
…

可以看到0.1转2进制不管怎么乘2结果小数位不可能为0，是一个无限循环小数，只能截取一部分。
我们再将获得的整数部分组合起来，
二进制为：0.00011001100110011001101（截取23位）

例子二: 十进制0.2转二进制

0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
…

0.2转2进制同样是一个无限循环小数，只能截取一部分。
二进制为：0.00110011001100110011011（截取23位）

例子三: 十进制0.3转二进制

0.3 * 2 = 0.6 →取整数部分0
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
0.2 * 2 = 0.4 →取整数部分0
0.4 * 2 = 0.8 →取整数部分0
0.8 * 2 = 1.6 →取整数部分1
0.6 * 2 = 1.2 →取整数部分1
…

0.3转2进制同样是一个无限循环小数，只能截取一部分。
二进制为：0.01001100110011001100110（截取23位）

例子三: 十进制0.5转二进制

0.5 * 2 = 1.0 →取整数部分1
…
二进制为：0.1

我们可以看出，0.1和0.2转二进制的时候就已经失去精度了。

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2、二进制小数 转 十进制小数

小数点后开始，依次乘以2的负一次方，2的负二次方，2的负三次方…

公式：

1. $小数第1位\ast 2^{-1}$
2. $小数第2位\ast 2^{-2}$
3. $小数第3位\ast 2^{-3}$
4. $小数第4位\ast 2^{-4}$
   …
5. 最后将所有计算结果求和，就能得到十进制小数了。

例子一： 二进制0.1转十进制

$0.1\ast 2^{-1}$ = 0.5

例子二： 二进制0.01001100110011001100110转十进制

$0\ast 2^1+1\ast 2^{-2}+0\ast 2^{-3}+0\ast 2^{-4}+1\ast 2^{-5}+1\ast 2^{-6}+0\ast 2^{-7}+0\ast 2^{-8}+1\ast 2^{-9}+1\ast 2^{-10}+0\ast 2^{-11}+0\ast 2^{-12}+1\ast 2^{-13}+1\ast 2^{-14}+0\ast 2^{-15}+0\ast 2^{-16}+1\ast 2^{-17}+1\ast 2^{-18}+0\ast 2^{-19}+0\ast 2^{-20}+1\ast 2^{-21}+1\ast 2^{-22}+0\ast 2^{-23}$
= $0+0.25+0+0+0.03125+0.015625+0+0+0.001953125+0.0009765625+0+0+0.0001220703125+0.00006103515625+0+0+0.00000762939453125+0.000003814697265625+0+0+0.000000476837158203+0.000000238418579101+0$
= 0.299999952316284179

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