计算共形几何-微分几何

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计算共形几何是丘成桐先生和顾险峰教授共同创立的跨领域学科，完美的融合现代几何拓扑理论与计算机科学，将代数拓扑、微分拓扑、曲面微分几何、黎曼面理论、最优传输理论的基本概念、关键定理和思想方法推广到离散情形，转换成计算机算法。

共形几何植根于基础数学，是很多领域的交叉点：黎曼面理论、复分析、微分几何、代数拓扑、几何偏微分方程、代数曲线等等；计算共形几何和计算机科学中的计算几何、数字几何和数值偏微分方程也有亲缘关系。这门学科的诞生是因为三维技术的蓬勃兴起，特别是三维扫描技术（例如基于结构光的相位平移技术）、计算机图形学技术（例如曲面参数化、纹理贴图技术）、计算机视觉技术（例如曲面注册配准，人脸表情捕捉）的迅猛发展，使得传统的欧几里得几何和线性代数方法无法解决这些领域提出的深刻问题，工程医疗领域必须系统引入现代微分几何和拓扑的思想和方法，发展严密而实用的计算方法。计算共形几何响应了时代的呼唤，从第一性原理出发推动了科学技术的发展。

共形几何主要应用包括计算机图形学中的全局曲面共形参数化、保面积参数化、计算机视觉中的动态曲面配准以及3D视觉领域的应用，例如立体视觉、点云融合、曲面重建、网格生成、几何压缩等等。2022年的科技热点在于自动驾驶、工业软件、可解释人工智能和元宇宙等领域，共形几何的理论和算法有助于直接解决这些领域的一些基本问题。

本文属于《计算共形几何》姊妹篇，主要介绍微分几何的核心问题，即连络、黎曼几何以及曲面论。具体包括黎曼度量、联络、曲率、活动标架法、Ricci-flow、高斯-博内定理和单值化定理等主要概念以及当今典型应用等。

下面是《计算共形几何》涉及的微分几何、算法及应用核心内容：

视频链接：顾险峰清华大学计算共形几何2018_哔哩哔哩_bilibili 。

在欧氏几何学中，认为两图形相等，是因为可通过欧氏运动（不改变两点间欧氏距离的运动）使两图形完全相重，欧氏运动的集合形成群，欧氏几何学正是研究在欧氏运动下空间图形的不变性质。注意到此点，19世纪末（1871年） Klein 对几何学及其分类作如下定义：存在一个集合（称为空间） E 及作用在此集合 E 上的变换群 G ，几何是研究在变换群 G 作用下，空间 E 的不变性质。微分几何是研究微分流形在微分同胚变换下的不变性质，微分流形及其上张量场是微分几何的主要研究对象。《物理学家用微分几何-候伯元、候伯宇》

所谓流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。粗略地说，流形在每一点的近傍和欧氏空间的一个开集是同胚的，因此在毎一点的近傍可以引进局部坐标系。流形正是一块块“欧氏空间”粘起来的结果，摘自《微分几何讲义-陈省身》。

流形其严格的数学定义为：设 M 是 Hausdorff 空间。若对任意一点 x∈M ，都有 x 在 M 中的一个邻域 U 同胚于 m 维欧氏空间 R^m 的一个开集，则称 M 是一个 m 维流形或拓扑流形。《微分几何讲义-陈省身》

这个深奥且拗口的数学定义可用通俗的话来理解，假如地球球面就是一个 2 维流形。因此，对于球面上的一个曲面三角形，可以摊开展成（即流动变形成）一个 2 维欧几里得空间上的平面三角形。此外，因为地球实在太大，我们往往把地球上的一块足够小的（曲面）局部区域当作平面来丈量，而不用担心会引起大的误差。比如，你要丈量学校操场的面积，根本不用把它认为是地球上的一块曲面，而直接看作一块平面即可。所以，光滑流形其足够小的结构是“硬”的（如可以固定丈量），而整体结构则是“柔软”的（可流动变形）。流形（Manifold）可看作是很多（Many）曲面片的叠加（Fold），比如整个地球的地图册就是由各个地区的地图页合订而成，而相邻地区的地图页之间含有重叠区域，以便建立彼此之间的联系，这样我们才能通过翻看一页一页的局部地图得出整张世界地图。

黎曼度量：设 M 为光滑流形，则 M 上的黎曼度量为对 M 上每点 p 给定切空间的内积。

现代几何的核心概念是“黎曼度量”，黎曼度量是微分几何最本质的一个概念，目前唯一能够计算黎曼度量的算法就是Ricci flow方法。现实中，黎曼度量就像好比给你一把尺子，可以量黎曼流形上曲线的长度。

黎曼几何(riemannian geometry)是非欧几何的一种，亦称椭圆几何或者球面几何。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性,因此这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的，在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率恒等于零-欧式几何；曲率为负常数-罗氏几何；曲率为正常数-黎曼几何。

后经E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci 等人进一步完善和拓广，黎曼几何成为A．Einstein创立广义相对论(1915年)的有力数学工具。此后黎曼几何得到了蓬勃发展，特别是E．Cartan，他建立的外微分形式和活动标架法，沟通了Lie群与黎曼几何的联系，为黎曼几何的深入发展开辟了广阔的前景，影响极为深远。

我国数学家陈省身师从Cartan嘉当。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，开创并领导了整体微分几何、纤维丛微分几何和“陈省身示性类”等领域的研究。这些领域的工作为大范围微分几何提供了工具，成为现代数学重要的组成部分，陈省身也因此被誉为“微分几何之父”

近一个多世纪以来，黎曼几何不仅是微分几何的基础，而且与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

Gauss-Bonnet定理连接了拓扑和微分几何，单值化定理连接了黎曼和微分几何。

有了黎曼度量，就可以计算角度、长度、曲面面积，甚至高维曲面体积。

介绍拉回度量，有了拉回度量可以和原先度量比较，定义各种映射。

定义等距映射。

定义共形变换，如果拉回度量和初始度量相差一个标量函数，则称为共形变换。（微分几何定义）

定义曲率，曲率等于力，几何上等于1/R；密切圆半径的倒数；还有空间曲线曲率、挠率。

定义弧长arc length。

上图中涉及很多微分几何基础知识，譬如曲率、扰率、曲面活动标架等。看了几本微分几何的教材，每本的侧重点不一样。个人感觉看完《微分几何-彭家贵，陈卿》这本再来看《微分结合讲义-陈省身》、《物理学家用微分几何-候伯元、候伯宇》比较好。

下面有颜色的图片内容来自 西北工业大学-陈航老师讲授 的微分几何内容（大家反映讲得特别清晰，内容也特别简洁），教材《微分几何-彭家贵，陈卿》。

法切面、密切面、从切面、曲率、标架运动方程

法曲率，曲面某一点处沿某个方向弯曲的程度

高斯曲率

介绍高斯绝妙定理（Gauss theorem egregium）：表达高斯曲率的一个定理。曲面的高斯曲率K可以用曲面的第一类基本量及它们的一阶、二阶偏导数来表示，因此，高斯曲率是曲面的内蕴几何量，该定理是高斯方程的直接推论。它的发现是微分几何学发展史上的一个里程碑，由此产生了曲面的内蕴几何。

内蕴几何是几何学中最重要的内容。 内蕴几何只关心几何物体自身的性质， 而不关心这个物体在大空间中的位置。 换句话说，内蕴几何的所有结论和概念只和物体本身的特性有关， 而和物体在大空间中的相对位置无关， 和坐标系的选取无关。

高斯绝妙定理首次认识到曲面本身是一个空间，不需要嵌入三维或者更高维空间来说研究，爱因斯坦说重力是一种错觉的结论也得于此。

介绍Gauss-bonnet定理，陈省身先生三大数学贡献之一就是证明该定理。证明过程中充分运用了曲面的微分表达方式——活动标架，即从嘉当那继承的魔杖。

（备注：全局微分几何目前还有很多拓扑问题没解决，具体需要把上下同调理论用计算机算出来。学人工智能的话，把局部微分几何（譬如计算曲率）往全局微分几何（譬如gauss-Bonnet定理）推广，应该是个好方向。）

介绍联络、平行移动、绝对微分。

共形变换

协变微分

平行移动

测地线

测地方程

介绍单值化定理

任意封闭光滑的度量曲面都能够保角地变换成常曲率曲面如球面（+1），欧式平面（0）或双曲曲面（-1）。换言之，曲面可以允许三种几何中的一种，球面、欧式或双曲几何。这一定理的三维推广就是瑟斯顿猜测：任何三维流形都可以被分解为素流形，每个素流形允许八种几何中的一种。

介绍哈密尔顿Ricci-flow

曲面微分几何中最为根本的单值化定理断言了所有封闭曲面可以配有三种几何中的一种：球面几何，欧氏几何和双曲几何。

瑟斯顿提出了石破天惊的几何化猜想：所有的素三维流形可以配有标准黎曼度量，从而具有8种几何中的一种。特别地，单连通的三维流形可被配有正的常值曲率度量，配有正的常值曲率的3维流形必为3维球面。因此庞加莱猜想是瑟斯顿几何化猜想的一个特例。

本质的突破来自于哈密尔顿的里奇曲率流（Hamilton's Ricci Flow）。哈密尔顿的想法来自经典的热力学扩散现象。哈密尔顿设想：如果黎曼度量依随时间变化，度量的变化率和曲率成正比，那么曲率就像温度一样扩散，逐渐变得均匀，直至变成常数。

在三维流形情形，在有限时间内，流形的某一点处，曲率有可能趋向于无穷，这种情况被称为是曲率爆破（blowup），爆破点被称为是奇异点（singularity）。

对于奇异点的精细分析成为问题的关键。哈密尔顿厘清了大多数种类奇异点的情况，佩雷尔曼解决了剩余的奇异点种类。同时，佩雷尔曼敏锐地洞察到哈密尔顿的里奇流是所谓熵能量的梯度流，从而将里奇流纳入了变分的框架。佩雷尔曼给出了证明的关键思想和主要梗概，证明的细节被众多数学家进一步补充完成。

里奇曲率流技术实际上给出了一种强有力的方法，使得我们可以用曲率来构造黎曼度量。里奇曲率流属于非线性几何偏微分方程，里奇流的方法实际上是典型的几何分析方法，即用偏微分方程的技术来证明几何问题。几何分析由丘成桐先生创立，庞加莱猜想的证明是几何分析的又一巨大胜利。当年瑟斯顿提倡用相对传统的拓扑和几何方法，例如泰西米勒理论和双曲几何理论来证明，也有数学家主张用相对组合的方法来证明，最终还是几何分析的方法拔得头筹。

哈密尔顿的里奇流是定义在光滑流形上的，在计算机的表示中，所有的流形都被离散化。因此，我们需要建立一套离散里奇流理论来发展相应的计算方法。历经多年的努力，顾教授和合作者们建立了离散曲面的里奇曲率流理论，证明了离散解的存在性和唯一性。因为几乎所有曲面微分几何的重要问题，都无法绕过单值化定理。我们相信离散曲率流的计算方法必将在工程实践中发挥越来越重要的作用，离散曲率流的技术极大地简化了几何算法设计。

庞加莱猜想所诱发的离散曲率流方法被广泛应用于精准医疗领域。人体的各种器官本质上都是二维曲面或三维流形，曲率流方法对于这些器官几何特征的分析和比较起到了不可替代的作用。

介绍离散Gauss-bonnet定理。

介绍离散Ricci flow。经典的Ricci流方法是基于二阶光滑的流形结构，在计算机上所有的流形都是用零阶的离散形式加以逼近，Ricci流方法无法直接应用。我们大概花了两三年建立了算法，应用于计算机科学的诸多领域；又花费了十数年，证明了离散Ricci流解的存在性，唯一性，收敛性等理论问题。

在三角形上定义一种能量，得出重要Symmetric Relation，历史上第一次涉及黎曼度量的算法。

下面定义更广泛的能量Ricci energy。

当庞加莱提出他的拓扑猜想，瑟斯顿洞察三维流形的基本几何结构，哈密尔顿悟出里奇曲率流，佩雷尔曼看出哈密尔顿的曲率流本质上是所谓熵能量的梯度流，他们所追求的是体悟几何结构的壮美和自然真理的深邃。他们绝不会将实用价值作为其终极目的，实用技术的积累往往只能带来进化（Evolutio），好奇心的满足却能真正带来革命（Revolution）。

应用简介

在过去十年间，我们系统地发展了离散曲面Ricci流的理论和算法，在世界上首次证明了解的存在性和唯一性，得到了离散单值化定理；扎哈·哈迪德设计的大兴国际机场使得广大群众直观感受到了曲面叶状结构的概念。为了满足几何建模、建筑设计的需求，我们首次提出了基于全纯二次微分的叶状结构算法；近期以来，依随工业软件的发展，业界对于结构化网格生成的需求日益迫切，我们首次发现了结构化网格与黎曼面上的亚纯微分之间的本质联系，基于阿贝尔-雅克比定理提出了结构化网格理论，从而有望将依赖于人类灵性的手工经验性方法用科学严密的自动算法取代；再如，丘先生在1992年提出了100个微分几何开放问题，其中第19问题是有关如何通过高斯曲率重建曲面的Minkowski问题。我们首次基于几何变分方法给出了求解算法，这等价于球面最优传输问题，在几何领域和可解释AI领域得到深入的应用。

在现实生活中，所有物理实体的表面都是黎曼曲面，因此在工程、医疗所有涉及三维形状的领域，共形几何无所不在。

以上主要讲RICCI Flow的几大应用。

工业应用

以下主要摘自《老顾谈几何》总结性内容。

2022计算共形几何课程总结_腾讯新闻

图形渲染：高效逼真的图形渲染强烈依赖于纹理贴图和法向贴图技术，而这些技术归结为曲面参数化方法。共形几何的单值化定理可以将具有复杂拓扑和几何的曲面映射到平面区域，并且这种映射局部保形，没有引入几何畸变。

几何畸变可以分成两类：局部形状的畸变和局部面积元的畸变。如果使得局部形状被保持，即映射局部是相似变换，但是相似比逐点不同，所得的映射是共形映射（conformal mapping），由共形几何理论来研究；如果使得面积元被保持，则所得映射为最优传输映射，由最优传输理论来刻画。

近期虚幻引擎5的Nanite虚拟几何技术将渲染效率提高了几个数量级，使得元宇宙中超大场景的实时渲染成为可能。而虚拟几何技术的核心是将不规则的三角网格转换成规则的几何图像，而这种转换依赖于曲面全局参数化。迄今为止，计算共形几何是唯一的可行方法。

几何建模：传统的机械几何建模是将简单的基本形状进行布尔运算得到复杂几何实体。比较现代的方法是直接扫描三维实体得到稠密点云，然后用SLAM技术将点云融合，再用数字几何技术重建三维曲面。初始重建的曲面往往具有大量的拓扑和几何噪音，需要用计算拓扑的方法去除拓扑噪音，用计算几何的方法去除几何噪音，再用共形几何方法进行三角剖分，得到高质量三角网格。高质量的网格可以用于后端的CAE数值模拟仿真，也可以应用于CAM，直接三维打印出来。传统几何建模领域中，最终曲面都被表示成高阶光滑的样条曲面，例如B-Spline，NURBS 和 T-样条曲面。通过共形几何的方法，我们可以将三角网格曲面转换成样条曲面。

几何约束求解：在工程实践中，我们往往需要求解带有几何约束的问题。计算共形几何给出系统性的方法来解决这类问题。例如扎哈设计的大兴国际机场的建筑大量采用曲面的叶状结构概念，而曲面的叶状结构等价于黎曼面上的全纯二次微分，归结为在曲面上特定的上同调类中求非线性椭圆型偏微分方程。计算共形几何给出精确的算法, 可以计算复杂曲面上所有的叶状结构。

再如，近些年来，拓扑优化技术发展迅猛。传统的拓扑优化设计都是在欧氏空间中施行，应用共形几何，我们可以将欧氏空间的方法直接推广到曲面上，在曲面上求解偏微分方程。例如，我们可以设计具有负泊松比的超材料，用于防弹面罩设计。

网格剖分：在CAE数值模拟仿真中，网格生成部分经常占据70%以上的时间和成本，因此网格生成具有根本的重要性。传统的基于Delaunay Refinment的平面三角剖分算法非常成熟。通过共形映射，我们将曲面映到平面，同时这个映射保角，因此可以将平面高质量的三角剖分拉回到曲面上，生成曲面的高质量三角网格。

曲面的结构化网格生成更加困难，其中关键在于网格奇异点构型的选取。长期以来，曲面四边形网格生成都是依赖于有经验的工程师手工调整。我们发现四边形网格等价于黎曼面上的亚纯四次微分，其奇异点等价于主除子，从而满足Abel方程。因此，计算共形几何方法为结构化网格生成奠定了理论基础，给出了高效算法。

CAE高性能数值计算：计算共形几何提供了完备的理论和算法在曲面上高效、高精度求解线性、非线性偏微分方程，得到各种函数和张量。这些方程的求解方法可以直接应用于工程领域。计算共形几何提供了曲面Ricci流算法，可以通过高斯曲率来反解黎曼度量，这是目前唯一的方法能够构造黎曼度量。所有的曲面都存在一个与初始度量共形等价的度量，并且诱导常值曲率，常数为+1,0，或者-1取决于曲面拓扑。通过单值化，我们可以将任何曲面上的偏微分方程转化为平面区域的偏微分方程。例如，曲面上的椭圆型偏微分方程例如热力学、弹性力学中的Lapalce方程，Poisson方程，都在共形变换下不变，从而转化成平面区域的类似方程，应用成熟的平面PDE方法求解，提高了计算效率。还有曲面上的全纯微分，用于六面体网格生成等。

几何（图）数据库：Klein的Erlangen纲领指出，不同的几何研究不同变换群下的不变量。我们可以将这些不变量作为曲面的“指纹”，将几何曲面分类，实现几何数据库的索引和几何搜素引擎。计算共形几何算法提供了所有的几何拓扑不变量，例如拓扑中的亏格、同伦同调群、曲面自旋结构；共形几何中的周期矩阵，Fuchsian群；黎曼几何中的黎曼度量（共形因子），Laplace的谱，热核；微分几何中的主曲率、平均曲率。用这些不变量，我们可以将曲面由粗到精，逐步分类。同时，计算共形几何提供了计算曲面之间各种映射的方法，比如极小化几何畸变的Teichmuller映射方法，从而可以建立曲面间精确的对应关系，进行精细的比较，从而计算曲面间的距离。

数据转换：几何数据的常见数据表示包括点云，图，非结构化网格和样条。通过如上的讨论，我们看到共形几何可以将这些表示进行转换。

数据模型驱动：共形几何方法可以和深度学习方法结合，用于几何生成模型。首先，通过全局参数化，我们将曲面转换成几何图像，从而可以直接应用各种卷积网络。同时，我们也可以用几何方法来解释深度学习方法，指导新型学习模型的设计。例如，我们知道深度学习的主要任务是学习流形上的概率分布，其中概率分布的学习算法是基于最优传输理论。由蒙日安培方程的正则性理论，传输映射不一定连续，经常存在奇异集合，而深度神经网络只能学习连续映射，这一本质矛盾造成了模式坍塌（mode collapse）。由此，我们基于最优传输映射的几何变分法，设计了AE-OT模型，可以避免模式坍塌。

基本算法

2022年的暑期课程讲解了大量的基本理论，这些定理的证明主要是基于构造性的方法，从而可以直接地转化为计算方法。

设计思路

我们的计算方法主要用丘成桐先生创立的几何分析方法，就是将几何问题用黎曼流形上的偏微分方程来表示，在流形上求解偏微分方程。虽然很多几何存在（Geometric Being）可以用代数几何方法来描述并且用计算代数方法来求解，但是分析方法更加贴近工程实际。

底层架构

组合数据结构底层的基本数据结构是单纯复形，即流形的三角剖分，例如曲面的三角网格、实体的四面体网格，和更加宽泛的CW-复形。数据结构主要用低维的半边结构（Half-edge Data Structure）和高维的飞镖结构（Dart Data Structure）。与传统有限元方法不同之处在于这里的组合结构是动态的，例如计算Ricci流的过程中，依随黎曼度量的变化，三角剖分动态变化以保持Delaunay特性。

数值优化几何偏微分方程转化为代数方程，特别是大型稀疏正定线性方程组，可以用经典的数值方法求解，例如共轭梯度法，也可以用多重网格法来加速，预条件子方法提高数值稳定性等。

离散优化有一些基本算法是基于离散优化的，例如三维扫描中的相位反解算法，立体视觉问题的底层算法等等。离散优化可以用马尔科夫随机场方法（Markov Random Field），例如可以归结为图论中的最大流、最小割算法（Graph Cut）。

自适应精度算术最优传输理论需要用到计算几何的算法。经典计算几何中的很多算法要求非常高的精度，常用的双精度表示远远无法满足需求，例如凸包算法，Delaunay三角剖分，扫描线算法等等。在这些算法中，算术上的微小误差会带来组合结构的巨大变化，构建过程中的一步失误会带来满盘皆损的局面。因此，我们需要自适应精度的算术函数（adaptive arithmetic）来保证计算的正确性和鲁棒性。

计算拓扑：我们详尽讲解了计算拓扑的各种算法，几乎涵盖了曲面拓扑的常见算法。

代数拓扑曲面的基本群，包括生成元和关系，曲面的CW-分解，基本域，万有复迭空间，曲面的甲板映射群，道路提升，同伦检测，同伦群中最短词生成；基于单纯复形的单纯下同调群，单纯上同调群，对偶基底，同调检测，单纯映射，映射度，同调群间的同态，Lefschetz数的计算，Sperner染色算法计算Brower 不动点，曲面自映射类群。持续同调算法，handle loop，tunnel loop算法，拓扑去噪算法等。

微分拓扑曲面的切矢量场设计，矢量场零点指标，曲面de Rham上同调群，曲面的单位切丛，曲面的自旋结构，曲线光滑同伦判定，曲面在三维欧氏空间中浸入的光滑同伦分类等。

几何拓扑单值化度量下 同伦群中最短词算法，曲线同伦判定算法等。

黎曼几何离散测地线算法，离散高斯曲率，

离散曲面Ricci流包括欧氏和双曲背景几何下的Thurston 圆盘填充算法，相切圆盘填充算法，逆向距离圆盘填充算法，虚拟半径圆盘填充算法，Yamabe流算法，统一Ricci流算法，动态Yamabe流算法。

离散调和映照拓扑圆盘的调和映照算法，基于非线性热流的球面调和映照方法，基于双曲度量的高亏格曲面调和映照算法，曲面的图值调和映照算法。

微分几何曲面的高斯映射，Weingarten映射，主曲率方向，主曲率，基于球面最优传输的Minkowski问题解法（即由Gauss曲率重建曲面）

共形几何微分形式的Hodge 分解算法，调和微分形式群，共轭调和微分算法，全纯微分形式群，周期矩阵，Abel-Jacobi映射，基于Abel定理的主除子判定，Abel微分构造算法，满足平庸和乐条件的黎曼度量构造算法，曲面四边形网格生成算法，共形映射、共形不变量算法。

拓扑圆盘黎曼映照，基于全纯微分算法，基于Ricci流算法，Zipper算法；

拓扑环带 基于全纯微分算法，基于Ricci流算法；

多孔环带基于全纯微分算法的狭缝映射，基于Ricci流算法的狭缝映射；

多孔环带基于全纯微分的Koebe迭代算法；基于Ricci流的Koebe迭代算法；

拓扑轮胎基于全纯微分的单值化算法; 基于Ricci流的单值化算法；

高亏格曲面基于离散曲面双曲Ricci流的单值化算法，Fuchsian群；

拟共形映射基于全纯微分的算法；基于Ricci流的算法；

Teichmuller 映射 基于全纯微分的算法；基于Ricci流的算法；

最优传输理论起源于法国数学家蒙日（Monge）于1781年提出的著名的最优传输问题，这一问题可以简单解释如下。我们考虑美国的马铃薯生产和消费情况：首先，假设整个国家自给自足，每年总产量等于总消耗量。其次，我们考虑定义在美国领土上面的两个密度函数：马铃薯的每年亩产量和每年每亩消耗量。比如， 纽约市区的消耗率很高，亩产率几乎为零；爱达荷州的亩产率很高，但是消耗率很低。政府需要设计一个传输方案，将马铃薯由生产地运往销售地，满足两个条件：首先是产销平衡，任何一个产地，运出的马铃薯总量等于生产总量，任何一个地区，消耗的马铃薯总量等于运进的总量；其次是传输代价最小。满足产销平衡的传输方案有无穷多种，如何从中挑选一个方案，使得总的汽油费用最少。通常，最优传输方案将同一个产地的马铃薯运往不同的销售地点；但是在特殊情况下，同一个产地的马铃薯运往同一个销售地点，这时传输方案退化成最优传输映射。最优传输方案退化成最优传输映射依赖于传输代价函数。最优传输理论主要关心的是传输映射的存在性、唯一性和光滑性问题。计算最优传输理论最为关心的最优传输映射的计算复杂度、稳定性和收敛性。最优传输理论用凸几何、非线性偏微分方程解决概率统计的问题，最近在深度学习领域引发了研究热潮。

最优传输理论是一门几何、概率论和偏微分方程交叉的领域，专门研究如何定义概率分布之间的距离，所谓Wasserstein距离，和如何构造概率分布之间的几何变换，即所谓的最优传输映射。从几何观点来看，最优传输理论等价于经典的Minkowski问题和Alexandrov问题，即如何从给定的高斯曲率来构造凸几何曲面；从偏微分方程角度来看，等价于经典的蒙日-安培方程。凸几何中的Alexandrov理论和最优传输中的Brenier理论本质上是等价的。

凸包算法，上包络算法，扫描线算法，Power Diagram-Weighted Delaunay算法，低维和高维欧式空间上的基于几何变分原理的最优传输映射，Wasserstein距离计算，基于快速傅里叶变换的算法，奇异集合存在性判定算法；球面最优传输映射包括Minkowski问题解法，反射镜设计问题，折射镜设计问题等。

最优传输理论介绍GAN，1）对抗生成网络中的生成器本质上是在计算最优传输映射；判别器本质上是在计算Wasserstein距离；2）Brenier理论揭示了这两个计算任务之间的等价性，从生成器的解可以解析地写出判别器的解。由此，我们可以设计出更为简洁高效的网络结构；3）最优传输映射有可能非连续，因此实践中会出现模式坍塌（Mode Collapse）问题。

基本理论

共形几何即黎曼面理论是现代几何的入口，一方面共形几何研究的对象就是日常生活中随处可见的物理曲面，非常直观，容易理解；同时共形几何的基本理论只需要比较初等的数学知识就可以理解，例如线性代数、多元微积分和复变函数，不需要太多的知识储备；另一方面，黎曼面理论非常抽象和深刻，是微分几何、复流形理论、代数几何和代数数论的交集，其基本的理论框架可以直接推广至高维情形。因此，共形几何具有巨大的理论价值和实用价值。如果同学们用心学习，肯定能够体会到共形几何在现实工程中的威力，同时更能够体会到思想精神上无可比拟的美学价值。

众所周知，黎曼面理论有三个主要的看法，1）复流形的观点：黎曼面是一维的Kaler流形，主要的研究手法是分析、拓扑和微分几何。我们的课程主要是用这个观点。核心概念是黎曼度量、Gauss曲率、亚纯函数的留数公式、切丛、全纯线丛的示性类和椭圆型微分算子等。联系拓扑和黎曼几何的定理包括Gauss-Bonnet-Chern定理，即总曲率等于拓扑不变量；Hodge定理，即黎曼流形上椭圆型微分算子解空间的维数由流形的拓扑所决定，例如每一个de Rham上同调类中存在唯一的调和微分形式；单值化定理，即一个黎曼面上的所有黎曼度量中存在一个常曲率度量。单值化度量可以用曲面Ricci流计算出来。

从复分析角度来看，黎曼面上的主要研究对象是亚纯函数和亚纯微分。由Hodge理论得知全纯微分构成的群与一维de Rham上同调群同构。全纯微分群的一组基底在黎曼面上积分得到Abel-Jacobi映射，将黎曼面全纯嵌入到高维复空间中，复空间的维数等于黎曼面的亏格。复空间模掉黎曼面的周期矩阵得到Jacobi簇。亚纯函数由其零极点的分布来刻画。亚纯函数的零极点构成所谓的主除子，Abel定理断言主除子的充要条件是其Abel-Jacobi映射的像是Jacobi簇中的零点。黎曼面上的除子在加法下成群，模掉主除子群得到除子类群。Jacobi定理断言，零度除子类群在Abel-Jacobi映射下与Jacobi簇同构。给定一个除子，所有极点阶数被其限定的亚纯函数构成一个线性空间，所有零点阶数被除子限定的亚纯微分也构成一个线性空间，Riemann-Roch定理给出这两个空间维数之间的确定关系。

从现代观点来看，亚纯微分是全纯线丛的全局截面。任意除子都可诱导一个全纯线丛，而线丛的示性类就是这个除子。若两个除子相差一个主除子，则它们诱导的线丛同构。两个线丛的整体扭曲可以叠加，从而得到线丛的乘法。所有的线丛同构类成群，被称为是全纯线丛类群。除子类群与线丛类群同构。

关键的思想如下：局部上看，亚纯函数、亚纯微分可以非常容易构造出来，但是当它们被向全局推广的时候，往往会遇到障碍。精确描述这种局部构造的全局障碍的语言就是层的上同调。全纯线丛局部截面的全体构成了黎曼面上的层，局部截面整体拼接时遇到的障碍是这个层的上同调群。若此群为零，则局部构造可以全局推广，反之则需要仔细甄别。此时，全纯线丛截面层的上同调群与所谓的Dolbeault上同调群同构，而后者则是复化的de Rham上同调群。由Voronoi-Delaunay的组合结构关系，de Rham同调群存在Poincare对偶，类似的Dolbeault的上同调群存在Serre对偶；更进一步Hodge理论适用于de Rham群，也适用于Dolbeault群。由此全纯线丛截面层的同调群可以计算，Riemann-Roch可以被看成是一个指标定理。更进一步，由除子诱导的全纯线丛上可以构造Hermite度量，从而得到曲率，总曲率满足Gauss-Bonnet定理，即等于除子（示性类）的度，总曲率决定了线丛截面层的上同调群是否平庸，从而决定了截面的整体存在性，即消没定理。这可以类比于正曲率曲面（球面）上的全纯微分为零。

由于这门课时间过短，很多同学是工程背景，所以笔者没有讲现代观点，而是用古典初等方法证明了Abel定理和Riemann-Roch定理。对于抽象的概念，例如层的上同调，真正的领悟需要很长时间，希望未来会有更加合适的讲授方法。

代数数论的观点：黎曼面上的所有亚纯函数构成一个域，即亚纯函数对于加法成群，非零亚纯函数关于乘法成群。几何上如果两个曲面存在共形双射，代数上两个亚纯函数域同构（这个同构限制在复数域上是恒同映射），由此复流形观点和代数数论观点等价。那么如何由此抽象域得到黎曼面上的任意一点？结论是每个点是亚纯函数域的一个赋值，即固定一点，取遍所有的亚纯函数，看哪些函数以此点为零点或者极点（考虑零极点的阶数）。换句话说，黎曼面上的任意两点，都存在一个亚纯函数将它们区分。这种代数观点令人耳目一新。

关键的思想如下：给定黎曼面，上面的亚纯函数域记为。取定一个亚纯函数，具有个极点，把它抽象为一个字符，把它添加到复数域中，构成关于变量的有理多项式域，这被称为是复数域的一次超越扩张。这时我们再任取一个亚纯函数，则必然存在的一个多项式，使得的次数不大于，并且以为根，. 这意味着关于是代数的，并且。由本原元素定理，必然存在一个亚纯函数，使得. 假设在上的极小多项式为，那么黎曼面就是的零点集合。即我们将黎曼面表示成了代数曲线。这里我们将一个层次的几何存在，即黎曼面上的一个亚纯函数，抽象成更高层次上的一个原子，一个符号，并且在更抽象层次上通过代数原理得到更为深刻的整体结论。恰如人类用抽象名词来指代复杂的具体事务，通过语言进行推理和思考。这种抽象能力正是人类智能与目前人工智能的本质差别，也正是令初学者百思不得其解的关键。

代数几何观点：我们将黎曼面表达成了代数曲线，即维复射影空间的一维紧子簇，那么就可以用代数工具来研究几何。例如多项式环的理想理论、Galois理论、代数曲线相交的Bezout定理等等，很多几何问题转化成代数问题。很多从微分几何角度难以直接理解的概念，在代数观点下相对直观，比如黎曼面间的共形映射等价于代数曲线的双有理变换，黎曼面的亚纯函数变成有理函数，黎曼面的亏格等价于代数曲线的阶数，黎曼面上的Weierstrass点变成了代数曲线的拐点等等。如此，我们可以用计算机代数的方法来求解几何问题，例如Grobner算法等。

最优传输理论也有三种观点：对偶观点、微分几何观点和流体力学观点。1）对偶观点：我们介绍了Monge-Kantorovich理论，由Monge最优传输映射推广为Kantorovich最优传输方案，通过引入c-变换（广义Legendre变换），我们得到对偶问题。再由代价函数的扭曲条件，我们得到Brenier定理。2）微分几何观点：Brenier定理与Minkowski-Alexandrov凸几何理论等价，核心方程都是Monge-Ampere方程。Alexandrov给出初始证明是基于代数拓扑的存在性证明，无法直接计算。在丘成桐先生的代领下，我们发展了基于几何变分原理的计算方法，从而给出Alexandrov定理的一个构造性证明。我们进一步将几何变分法推广到更加广泛的、具有不同的背景几何和传输代价的最优传输问题，包括球面上的Minkowski问题，反射和折射光学系统设计问题等等。3）流体力学观点：最优传输问题可以从流体力学角度来考虑，从而表示成连续最优传输问题：每个粒子在空间流动，将初始密度变成目标密度，同时是每个粒子的路径最短。Benamou-Brenier理论将这个连续最优传输问题等价于寻找一个流场，使得流场的总动能达到最小。Arnold和Otto将流体力学诠释为黎曼几何框架，为Wasserstein空间定义了黎曼度量和绝对微分，从而使得Wasserstein空间的变分法得以施行。由此我们可以推导最大熵的Wasserstein梯度流，和信息论中得到的结论相一致。

我们将最优传输理论的几何观点总结成如下的口诀：

代价变换支撑；

支撑包络势能；

势能微分映射；

映射对偶凸形。

本文介绍了丘成桐先生和顾险峰教授在计算共形几何领域的一些重大理论创新，并分享了其团队在工程领域独一无二的算法。