动画 | 什么是二分搜索树（二叉查找树）？

二分搜索树属性

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二分搜索树的又名比较多，有的叫二叉排序树，也有的叫二叉查找树，或者有序二叉查找树。是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

1.若任意节点的左子树不空，则左子树所有节点的值均小于它根节点的值；

2.若任意节点的右子树不空，则右子树所有节点的值均小于它根节点的值；

3.任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

4.没有键值相等的节点。

它的查找、插入和删除的时间复杂度都等于树高，期望值是O(logn)，最坏时间复杂度是O(n)，比如树退化成线性表。

（响应读者的建议，视频动画不放BGM了）

动画

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查找元素

二分搜索树是为了实现快速查找而生的，也支持快速添加和删除一个数据。如何查找某个元素首先跟根节点去做比较，如果相等的话就返回；如果待查元素要比根节点小，就进行左子树递归查找；如果待查元素要比根节点大，就进行右子树的递归查找；如果查找到最后还没有一个符合的元素，就返回null。

递归查找

递归查找的方式有很多，有层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历。我这里就举后面三个遍历方式。

Code

如果代码是下面这样写的，那它遍历过程是怎么样的？看下面视频动画。

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视频动画：前序遍历

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视频动画：前中后遍历

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视频动画：前中后遍历 前序

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视频动画：前中后遍历 中序

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经过中序遍历得到的正好是一个升序序列。

视频动画：前中后遍历 后序

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如果不考虑升序，后序遍历能够为二分搜索树早点释放内存。

添加元素

对于二叉树的添加和删除元素，使用链表存储形式比较好操作的，如果使用数组形式存储，删除某一个有子树的元素会引发一系列的位置改变，涉及到交换元素的位置，性能也比链表的小。所以待会后面出现的伪代码都以链表存储形式去操作。

视频动画：添加元素

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Code

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删除元素：删除最小和最大的元素

删除最小和最大的元素很简单，如果是删除最小的元素，从二叉树的顶点出发，一直递归它的左孩子，直到某节点的左孩子为空，这时候这个节点就是最小的元素。删除最大的元素也是一样的，一直递归它的右孩子，直到某节点的右孩子为空。

视频动画：删除最小和最大的元素

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删除任意元素

如果删除任意元素，而这元素正好有左右子树的，那该是怎么般呢？

1962年，Hibbard提出了Hibbard Deletion的解决方法。

看到Hibbard名字就想起来，我在希尔排序介绍过Hibbard增量序列，也把它相应的公式通过代码体现出来，代替希尔增量序列去进行希尔排序，最坏时间复杂度也比希尔增量序列的要小。

回到删除有左右子树的元素，想想它的左右子树也属于二叉排序树（也是二分搜索树），它左子树的最大值比它小，它右子树的最小值比它大。所以不管选择左子树的最大值还是选择右子树的最小值，替换掉要删除的元素，整个二叉树都是符合二分搜索树的规则。

视频动画：删除任意元素

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Code

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支持重复元素的二分搜索树

二分搜索树有一个规则是：没有键值相等的节点。那么就不建议把待添加的元素跳过值相等的节点，到下一步继续比较直到插入新的节点。比如我想插入23，插完之后上有23，下有23，那查找就没有意义了，也破坏了时间复杂度上的O(logn)。

建议就是在节点上加一个属性：count。当插入23的时候，count就可以自算++。这不仅满足了没有键值相等的规则，也满足时间复杂度的期望值。

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Code

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