64、最长公共子序列-II（不连续）

一、描述

给定两个字符串str1和str2，输出两个字符串的最长公共子序列。如果最长公共子序列为空，则返回"-1"。目前给出的数据，仅仅会存在一个最长的公共子序列

二、最长公共子序列和最长公共子串的区别

1. 子序列：即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。
2. 子串：给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。

给一个图再解释一下：

• 子序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列示例： {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉后，保持原有的元素序列所得到的结果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。
• 子串：{c,d,e,f} 即连续元素c,d,e,f组成的串是给定序列的子串。同理，{a,b,c,d},{g,h}等都是它的子串。
   

三、求最长公共子序列(LCS)的思路：动态规划

（1）递归公式：进行动态规划，构造LCS数组

• c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度;
• 其中X = {x1 ... xm}，Y ={y1...yn}，Xi = {x1 ... xi}，Yj={y1... yj};

1. 若Xi和Yj的最后一个元素相等，那么Xi和Yj的LCS就等于 {Xi减去最后一个元素} 与 {Yj减去最后一个元素} 的 LCS  再加上 S1和S2相等的最后一个元素。即C[i-1][j-1]+1;
2. 若Xi的最后一个元素 与Yj的最后一个元素不等，那么Xi和Yj的LCS就等于 ： {Xi减去最后一个元素} 与 Yj的LCS， {Yj减去最后一个元素} 与 Xi 的LCS 中的最大的那个序列。即max{C[i,j-1], C[i-1][j]}

 （2）根据LCS数组反推，构造最长公共子序列

以的s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2} 的LCS数组为例:

注意：本文S1和S2的最LCS并不是只有1个，本文并不是着重讲输出两个序列的所有LCS，只是介绍如何通过上表，输出其中一个LCS。 

2.1）第一种结果：

我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS：

1. c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。
2. c[8][8] = 5,  且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值来源于 c[7][7]。
3. 以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里请都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向）。

    第一种结果为：

 这就是倒推回去的路径，棕色方格为相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}

 2.2）第二种结果：

如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，选择另一个方向，会得到另一个结果，即LCS ={3,5,7,7,8}。

 

四、实现

/**
 * longest common subsequence
 * @param s1 string字符串 the string
 * @param s2 string字符串 the string
 * @return string字符串
 */
function LCS( s1 ,  s2 ) {
    // write code here
    //动态规划，构造LCS数组。 C[i][j] 表示串s1i和串s2j的最长公共子序列长度
    //反推结果，获取最长的公共子序列。
    let len1 = s1.length;
    let len2 = s2.length;
    if(len1==0 || len2==0){
        return -1;
    }
    let dp = [];
    for(let i=0;i0 && m2>0){
        if(s1[m1-1] == s2[m2-1]){ //2.1 两字符相等：s1[m1] = s2[m2]
            res.unshift(s1[m1-1])
            m1--;
            m2--;
        }else{//2.2 不相等,取子串的最长公共子序列中，最大的
            if(dp[m1-1][m2]>dp[m1][m2-1]){
                m1--;
            }else{
                m2--;
            }
        }
    }
    if(!res.length){
        return -1;
    }
    return res.join("")
}
module.exports = {
    LCS : LCS
};

 

时间复杂度：

构建c[i][j]表需要Θ(mn)，输出1个LCS的序列需要Θ(m+n)

参考：(25条消息) 动态规划 最长公共子序列 过程图解_hrn1216的博客-CSDN博客_最长公共子序列