近世代数：循环群与变换群
首先的首先，我们要对“包含M的最小子群”这个概念彻底了解：
想象一下：一个群G中，有一个小小的子集（注意是子集），有很多群包括这个子集，而这些群的交集就是
现在我们彻底了解了，讲生成系：
可以看到想要成为生成系很容易，只要作为一个子集被子群（哪怕只有一个）包括了，那就有了
注意：
从这个地方开始，你就要想一想为什么M可以被称为生成系，
那么，这个时候你可能就会想了：假如M里有a和b，aob=c,那我就要把c放进来。aoc=d，那我就要把d放进来···那岂不没完没了了？那可不一定。aoc不一定是d也可能是b呀，乘到最后可能会回去，是不是又“循环”的感觉了？对！（当然他也确实有可能是无限群）
这个理解了，那接下来就是循环群了：
这里可以向上解释一下：a在这里是生成元，在上面相当于生成系。G在这里被a生成了，可不就是上面那无数子群取交所得的,生成群。不过这里，G自己翻生当主人，自己成了群。
我刚刚讲到，M生成
来几个循环群的例子：
对各个例子的解释：
1.我现在M={1},子群想要包含1，假如只是简单地包几个数的话都不是群，（注意正整数加群不是循环群，群要有逆元呀）最后只能变成整个整数。还可以用-1做生成元。注意不可以用2，-2之类的，得到的循环群会是2*Z。
a的阶数是无穷，那a就没指望“循环”了，加上e，逆元····就成了上面那样。
a的阶数有穷，那就可以“循环”了，就成了上面那样。你可能会问：为什么没有a-1之类的？笨啦，a-1不就是a^n-1吗？
同构会不会忘了是怎么回事？就是元素，映射，隐射结果全部双射对应的意思。
来几个推论：
当然啦，刚刚就有证。
记得刚刚的整数加群吗？1和-1都是生成元。可以这样理解：a乘来乘去有了正半部分，逆元就有了反半部分，那a^-1也是这样。
那Euler函数是什么呢？：
就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。
假如有某个数k不和n互质，那k多乘几次肯定会有漏掉的元素。产生的群还是循环群，但变小了，和原来的不一样了。
首先可以看到，
第一部分很显然。第二部分则直接不装了：我k就是和n有一腿，我这都不是不互质了，我直接是人家因子，那不晓得漏掉几多。就比如说n=6,k=2,那以a^(6/2也就是3)为生成元的循环群就只有{a3,a6=e}.
T(n)=2+小于n且与n不互质的数的个数（注意这个地方算的是不互质的）
刚刚算互质的是因为互质代表了产生的循环群和原来的一样（就成为了“其他生成元”），那就不是我们现在想要的了（前面加2是所有群天生就有的，显然这里的n要大于1），不互质的话就有漏的，就是子群了。
变换群：
集合的变换还记得是什么吗？就是让集合的每一个值对应集合里的另一个值（也可以是原来哪一个）而变换的乘法就是“先换成A,再换成B”那样。因为在大家都是双射变换时“先换A,再换B”这样的效果必然会等于 “直接按C换”故可以成群。所以这个群就是有一大堆的变换组成的。
对称群：
你想呀，成群的话那肯定有逆元对不对，逆元是什么？不就是把变换的前后交换一下对不对？假如有一个元素只是单射而不是双射，那逆元不就是一个对多个了？所以肯定是双射。
这样看，是不是变换群很难是非双射？确实，你可以看ppt上举的例子，真就逆天。
我感觉，最直观的记法就是：有恒等变换这一条把ppt上的逆天例子排除了。
解释一下：群都是满足消去律的，ax1=ax2那x1,x2就相等了，所以一定是双射。
双射变换群肯定是对称群的子群呀。