高中奥数 2021-09-12

2021-09-12-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P042 例9）

如图,已知内切圆分别与边、切于点、,直线、分别与交于另一点、.求证:.

图1

证明

设,,.

由斯特瓦尔特定理得

.

由切割线定理得:

故.

同理.

因为,所以.

又因为,所以.

由余弦定理得:

故.(1)

对圆内接四边形应用托勒密定理得

再结合式(1)得

.

2021-09-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P043 例10）

已知与外切于点,一直线与相切于点,与交于点、,且点在线段的内部,直线与交于另一点,是不包含点、的上的一点,过点作的切线,切点为,且线段与线段不相交,直线与交于点.证明:

(1)、、、四点共圆;

(2)是的内的旁切圆的圆心.

证明

(1)如图,为与的公切点,则对应的度数等于对应的度数,即.(1)

图2

而,所以,即.故、、、四点共圆.(1)

(2)因为,,结合(1)式得

,.

又,,所以,.

则,.

又(由(2)得),,而,所以,从而.

则,即为的外心.

所以.

故平分,而,又为的外心,则,则.

又,,即.

所以是的外角平分线,又平分.

故为的内的旁切圆圆心.