吴军--数学通识讲义--函数：重要的数学工具

函数

函数的共性：

1.函数里都有变量。像这样的抛物线函数，x就是变量；

2.它们都有一种对应关系。给定x的值，就能算出y的值；

3.上述的对应关系都是确定的。一个变量只能对应一个值，而不是多个值

4.函数所对应的关系可以通过数学的方法或者其他方法算（或者找）出来。

在函数中，虽然变量可以随意变，但它有一些特定的限制条件或范围，这个范围被称为定义域。如圆的面积S是半径r的函数，但半径r不能是负数就是限制条件。

在定义域确定之后，函数的取值也就确定了。

在科学启蒙时代，解析几何的出现及天文学和物理学的发展对函数的出现起到了至关重要的作用。

有了函数，人类在认识上进了三大步。

1.很容易看出两个变量之间是怎样相互影响的；

2.让我们从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，而且可以非常准确地度量变化趋势所带来的差异；

3.作为数学工具的作用。

函数因果关系的特殊之处：

1.数学上的因果关系和生活中的可能不完全相同。如:物理学中的因果关系是单方向的，数学函数中的因果关系可能是可以互换的，如：圆的面积。

2.当一个函数（体积）随着多个变量变化时，单独一个变量和函数值未必有因果关系。

相关性不代表必然性。

例如：投资时，高回报率的项目拿回来的钱不一定比低回报率的多，因为高回报率必定带来高风险性，一旦发生风险，那高回报率甚至比低回率的回报还要低。

今天很多学术专著，也是从特定视角看待问题。万维钢老师讲过一句话，人文和社会学科与自然科学领域特点完全不同，前者更像是江湖，学者们彼此很难互相说服。（比如心理学就有多个派别。）