十堂极简概率课3

点数问题

帕斯卡和费马的第二次讨论是关于点数问题 。

点数问题

两名水平相当的玩家正在进行一场多局赌博。每赢一局就可以得到一点。他们一致同意，第一个达到特定点数的玩家获胜，并赢得最后赌注。在进行了若干轮之后，赌局被打断了，此时该如何分配赌金。

帕乔利问题

1494年帕乔利考虑过这个问题：在一场只要得到6点就胜利的赌局中，甲已经获得5点，乙已经获得3点。帕乔利认为此时中断赌局后，赌金应当按分配。

50年后塔尔利亚提出疑问。如果赌局继续进行，甲赢下下一局，那他就会得到所有赌注。但是他没有想出这个问题的答案。

费马的解答是：假设甲和乙距离赢得赌局分别还差点和点，那么赌局会在轮结束。当然赌局也可能会提前结束。由于每轮胜负率是确定的，所以只需要考虑轮的投掷结果即可。此时该问题简化为一个等概率情况问题。

帕乔利问题中，最多只要进行3轮就可以结束赌局。乙只有赢得接下来的3轮才能赢得赌局，他的期望是，而甲的期望是。赌金应当按分配。

扩大帕乔利问题

帕乔利问题中，只要计算3轮的情况即可，但有时候，轮数会更多，多到难以估计。比如，如果甲没有得分，乙得到1分。此时终止赌局，最多还可以进行10轮，总共有中可能结果。

甲赢得赌局的情况为：10赢6、10赢7、10赢8、10赢9、10赢10。甲的获胜概率为。

因此赌金应当按分配。

点数问题拓展

帕斯卡讨论的另一个问题也很有趣。

他以一个赌局为例，两个玩家各押注32枚金币，率先赢得三点的玩家获胜。我们假设第一个玩家得到两点，另一个玩家得到一点。在接下来的一轮赌局中，如果第一个玩家获胜，他就会赢得全部赌注，即64枚金币。如果第二个玩家获胜，他们的点数之比就是2∶2，此时终止赌局的话，他们各自拿回自己的赌注（32枚金币）就可以了。
费马先生，请考虑下面这种情况。如果第一个玩家获胜，64枚金币就会归他一人所有。如果他输了，则可以得到32枚金币。此时他们终止赌局的话，第一个玩家就会说：“我肯定可以得到32枚金币，因为即使我输了，我也会得到这么多金币。至于另外32枚金币，也许会归我所有，也许会归你所有，风险均等。因此，我们可以平分这32枚金币。但是，另外32枚金币肯定归我所有。”这样一来，他将得到48枚金币，而另一名玩家则得到16枚金币。

再多进行1轮。情况为：甲、乙。甲的期望为枚金币。乙为枚金币。

分析

作者的点评如下：

这不仅是在计算期望值，还以任何人都无法辩驳的方式证明了这种分配方案的公平性。你确定拥有的部分，就归你所有；对不确定的部分，在概率相等时则双方平分。这是对修道士帕乔利的疑问的明确解答。

继续迭代，

现在，我们假设第一个玩家得到两点，另一个玩家一无所获。接下来，他们将争夺第三轮的胜利。如果第一个玩家获胜，那么他将赢得所有赌注，即64枚金币。如果第二个玩家获胜，赌局就会回到前文讨论过的情况，即第一个玩家有两点，第二个玩家有一点。
我们已经证明，在这种情况下，48枚金币将归那个赢得两点的玩家所有。此时，他们终止赌局的话，这个玩家就会说：“如果我赢了，我将获得64枚金币。如果我输了，我也会理所当然地得到48枚金币。因此，先将确定归我所有的48枚金币给我，因为即使我输了，这些金币也是我的；然后我们再平分剩余的16枚金币，因为我们得到这些金币的概率均等。”也就是说，他将得到56（48+8）枚金币。
现在，我们假设第一个玩家得到一点，第二个玩家一无所获。瞧，费马先生，如果他们开始第二轮，就会出现两种可能的结果。如果第一个玩家获胜，他就会拥有两点，而对手仍然一无所获。根据前文讨论的结果，他将得到56枚金币。如果第一个玩家输了，他们的点数之比就是1∶1，他将得到32枚金币。因此，这名玩家肯定会说：“如果此时终止赌局，就先从56枚金币中把我肯定会得到的那32枚金币给我，然后我们再平分剩下的金币。从56枚金币中拿走32枚，还剩24枚。

赌局至多2轮就会结束，情况分别为：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。甲的期望为枚金币。乙的期望为8枚金币。