低段儿童学数学，千万不要被成绩欺骗
一、为什么孩子的成绩会下降？
为什么会选择这个题目？因为最近经常会被家长问道：孩子在一二年级时数学成绩名列前茅，一上三年级成绩就急速下滑，这到底是怎么回事？大家可能会给出的答案有这两种：有人认为这很正常，一二年级不就是背背口诀，做做加减法嘛！但是一到三年级知识本身会有一个质变，难度一下子增加了，孩子的思维习惯和学习方式没有转变过来，所以成绩就会下滑；还有人认为一二年级的时候孩子很愿意听父母的话，让干什么就干什么，但是到了三年级孩子开始有自己的想法，不好管教，不管是课堂，还是在家里完成作业都会遇到问题，所以孩子的成绩就会严重下滑……可能还有其他不同的解释，在这里主要讨论这两种回答的原因是它们恰恰代表了两个非常重要的方面——到底怎样的教育才是真正的数学教育？到底怎样的教育才是适合儿童的教育？将这两个问题归为一个问题——适合低段儿童的数学教育到底是什么样的？
最近在朋友圈看到了其中一位妈妈每日更新的内容变成了——我展示我自信，某素质教育某班某某同学挑战22天打卡之“快速口算”。孩子已经坚持到了第八天，效果还是很明显的，正确率和速度都是肉眼可见地得到了提升！但同时我明显地感觉到小家伙的语气变化，第一天孩子的语气中充满了挑战的渴望，证明自己的欲望，手机平台是孩子展示自己的舞台。但第八天呢？明显感觉到孩子的语速变快，态度散漫，最重要的是数学在孩子眼中会是什么样子呢？机械的，枯燥的，反复重复的，如同小魔怪一样毫无道理可讲的就是为了追求最后的正确率和速度。等上了小学，那就是不断刷新的高分，与这样的数学相伴一年、两年，第三年孩子说一声：我不愿意陪你们玩了，这不是一件很正常的事情吗？所以到了三年级孩子成绩下滑的根本原因是这样的数学已经让他厌烦透顶，不愿意学了。我们常说的一句话就是孩子不思考了，大脑仿佛锈住了一样，甚至有的家长开始怀疑孩子是不是根本不适合学习数学。当然不是，我们在用对待马戏团里的小动物的方式在对待我们自己的孩子，刺激，反应，刺激反应；孩子们表现出某种反抗精神这恰恰是孩子在表现自己人之为人的一面，在向世界宣告自己的痛苦和压抑。在千百年的进化历程中，数学已经是我们人类基因中非常重要的一个螺旋结构，因为我们人类是这个地球上唯一会去追问为什么，会去思考和辨析的动物，而这些恰恰都会在数学学科上得到充分的锻炼，根本原因是我们没有将适合儿童的数学带给他。
如果孩子的成绩下滑了，他可能在说：亲爱的爸爸妈妈，能不能让口算题卡换一种方式出现在我的生命中；他想问为什么人类会发明这么抽象的数学符号“1”？他想问为什么要将这些他们并不熟悉的数字加来减去？他想问数字与数字之间有什么联系？那些口算题卡上的算式之间又有什么联系？……这所有的问题比最终的正确率和速度要重要的多。是的，数学不是无道理可讲的客观教条。
二、适合儿童的数学教育是怎样的？
很多熟悉我们课程系统的家长都知道，我们低段课程中会有很多很多的游戏，但游戏背后的原理大家不一定清楚。我们今天来换个角度，拿一道幼儿园小朋友都可以轻松解决的算式“1+1=2”来举例，一起追问：为什么低段的孩子学数学要玩游戏，而且必须要玩游戏。
第一个问题：“1”是怎么来的？
这个问题的背后其实涉及到自然数的诞生历程。这些数字的创造一定是因为生活的需要，我们的祖先通过分类观念对这个世界有了最初的命名，同时在打猎的过程中必然会遇到多与少的问题，我们开始寻找合适的方式来描述多和少，但随着人类的不断进步，我们需要进一步知道如果多，到底是多了多少呢？如果少，到底是少了多少呢？从最早的摆石子，到结绳计数，最后我们创造合适的文字，这个时候的文字还远不是现在所用的阿拉伯数字，这些文字比抽象的阿拉伯数字要好玩的多。所以在贞元学校，刚上一年级的小朋友都会玩这样一个游戏，用彩泥捏塑甲骨文，在甲骨文故事中去感受数字的创造本意，没有一个孩子不喜欢，因为这是和现在的幼小生命一样生活在这片土地上的我们的祖先对自然万物的洞察。
一节课之后孩子们就会收获属于自己的数学作品，对于这样的数字书写题卡刚上一年级的父母并不陌生，但我们将这两幅作品放在一起进行对比，我们问问自己孩子会更喜欢哪一种方式？孩子在哪种方式的学习中会更有收获，更能理解数的含义？哪种学习方式更适合儿童的认知发展规律？我相信大家心中已经有了答案。
数字被创造出来之后，就以带着孩子们玩编制数字圆盘的游戏。如果一个圆盘我们可以看做是一个“1”，将圆盘平均分成2份就对应着数字“2”，当然我们还可以在圆盘上创造出数字“3”，在圆盘上找3个点，然后将这3个点用线连起来，有的孩子看到的是一个三角形，有的孩子看到的是3个点，有的孩子看到的是3条线段，有的孩子可能看到的是3段圆弧……在这个过程中儿童对于数字3就又有了新的理解。当然我们还可以在圆盘上制作出其他数字，不同的数字就对应着不同的形状，这个过程是非常好玩的，你看小小的脸上已经不知道要去怎么开心了。而数与形之间也就产生了联系，这就是一年级小朋友们的数形结合游戏。
孩子们还可以用脚步的轻重来感受数字的节奏，队列的变化中感受数字的变化，这个过程中很自然地孩子们就会感受到奇数与偶数的不同，每十个数字之间变化的某种规律，十进制观念也会潜移默化地得到渗透，而这些游戏背后的种种“目的”孩子们并不会被感知，他们只有一个感觉——数字太好玩了，它就是我们的游戏伙伴。
数字“1”被发明出来之后，“1”可以做什么呢？这其实就在追问数的基数性质和序数性质。
在棋子拆分游戏中，数字所要表示的量的多少被孩子们真切的操作着，最重要的是孩子们会发现数字与数字之间是有关系的，8可以拆分2和6，3和5，4个4，1和7。
把这样的重大发现记录下来就是烟花图。而这种可触摸的对数的大小的感受和不同数之间关系之间的联系会帮助儿童建构数的基数性质。
紧接着我们玩彩泥捏塑游戏是为了沟通数的基数与序数性质。彩纸的底端用彩笔写出数字0——10表示11个不同的位置，在不同的位置上摆上不同数量的小彩球。比如数字1的位置上就有1颗小彩球，数字2的位置上表示有2颗小彩球……在操作过程中孩子们知道不仅数字上对应的彩泥球也就是数字的大小不能搞错了，数字的位置也不能搞乱，数的序和量的性质第一次得到了沟通。之后我们会在教室里画一条长长的线，玩跳格子游戏。格子上的数字该怎么标呢？其实完全可以交给儿童自己来创造。孩子们会很清楚地告诉你0表示没有，就放在起点的位置；如果从0开始往前跳1格，跳到的第一个位置我们可以用数字1来表示；从0开始往前跳2格，跳到的第二个新位置我们就可以用数字2来表示……数轴上的每个数字其实都对应着两种含义，既可以表示从0开始跳了几格，还可以表示跳到的第几个新位置，数字的基数与序数性质在跳格子的过程中得到了很好的沟通。
将这样的游戏过程记录下来，就是孩子们在初中才会接触到的数轴。
最重要的是一年级自然数的数轴学习会对三年级的分数和小数的学习打下基础，数轴会成为孩子们分析数，理解数的工具。
科学数观念的建构除了数的基数性质和序数性质之外，最重要的就是数的十进制和位值制观念。
而这个建构的过程不是一蹴而就的，个体发生学和历史学总是有某种同构性，现阶段的儿童往往会遇到和我们的祖先相类似的计数问题。于是我们就会带着儿童回到远古时期，去遭遇问题，并尝试自己解决问题。面对仅有的几只兔子我们用石子，木棍，刻痕等方式就可以很好的达到计数的目的，但如果猎物变多了呢？放在一起的石头和猎物又有什么区别呢？看来我们得发明一种新的更加简洁的计数方式了！
怎么办呢？有人提出我能不能用一个绳结，一捆木棒来代替50根小木棒呢？当然是可以的。至于我们现在为什么选择的是十进制而非50进制或者其他的进位制，可能就和我们有十根手指有关吧！在解决问题的同时，孩子们建构了十进制观念和位值制观念。
而随着人类社会的发展，我们要处理的数字越来越大，即使是改良之后的实物计数方式也不再方便，有没有更加便捷的数字表达方式呢？孩子们在新的问题解决过程中也会去尝试创造自己部落的文字符号，同时阿拉伯数字的神奇魅力与无与伦比的简洁性也再次被凸显出来。而随着人类社会的不断发展，我们所需要的计数单位也在不断变大，十个十个计数已经无法满足我们的计数要求，那就需要一百一百地计算，如果一百一百地计算也不能满足我们的要求，那就发明更大计数单位吧！把十个百放在一起就是一个千，十个千放在一起就是一个万。千，万，十万甚至更大的计数单位都会成为我们课堂讨论的对象。至于这个更大的计数单位会是什么，已经不重要了，重要的是数学在他们眼中并非固定死板，是可以被发明创造，不断生长的。伴随着数的不断壮大，我们游戏材料也会从最开始的棋子，到小棒，计数器，再到自己制作的十数条，百数板。
刚才我们一直在追问更大的计数单位该如何发明，但如果是遇到了比“1”小的量呢？也就是自然数这把尺子不够用了，我们是否能够发明新的“尺子”来描述这个世界呢？这是三年级的孩创造的小数计数单位及小数位值制名称。
作为一个成年人，小数对于我们简直是再熟悉不过了，但在面对孩子们最开始的小数创造的时候仍然会感动到不能自已，我仿佛看到了数学本来的样子，没有被任何人为污染，束缚的本来的样子。这对我来说是另外一个世界，是现在的我很难达到的世界，因为我的脑子里已经装了太多的前有前见。如果没有加入团队，没有孩子们的创造，我可能一辈子也见不到这样的数学，就像神奇的文明再次浮现。这个时候我从来不会觉得自己是一个师长的角色，而是无比激动和感恩的去和那一个个神奇的生命讨论他们的具体想法，谢谢孩子们不断地带着我去体会数学观念诞生的那一刻，这才是数学老师最幸福的时候。
第二个问题：“+”有道理可讲吗？
现在我们再来看看算式“1+1=2”,请问有道理可讲吗？很多家长都认为这有什么道理可讲，我们最关注的是等号后面的“2”千万不要写成3，写成4……但前面提到的正在进行22天口算挑战的小朋友，他心里会不会对加法有疑惑？肯定会有，在最开始听到加法的那一刻肯定会有。但我们所有人都完美地滑了过去，来告诉你1+1=2就是1个苹果＋1个苹果等于2个苹果。到底该怎么讲清楚加法的道理呢？还是要回到动作操作中去帮助儿童建构相应的运算逻辑。我们将1颗棋子与1颗棋子合并起来就是2颗棋子，这是一年级的孩子每个人都可以达到的动作操作，这个过程你能用自己的语言描述吗？能画个图来表示吗？这些表示方法其实已经将我们刚才的动作操作描述得清清楚楚，但是还不够简洁，能用我们数学的符号语言来描述吗？孩子们不难写出这样的算式，你能解释这个算式中每部分的含义吗？“1”就是集合的数量，“＋”号表示合并的那个动作，“2”表示的是最后的操作结果。而且这样的数量关系还可以用减法算式“2—1=1”表示。什么意思呢？从2颗棋子中拿走1颗棋子，还剩下1颗棋子，这里的减号就是拿走。如果连续拿走两次，就是2-1-1=0。加法和减法从最开始就是以动作互逆的方式藏在儿童的游戏活动中。
如果数字变大了，我们还可以将自己的操作过程记录下来，那就是一幅非常棒的烟花图作品。换成更大的数字孩子的积极性会更高，不知不觉他们竟然将连加连减算式也玩了出来。在这种被孩子们称为是数字棒棒糖的数字圆盘中，儿童正在悄悄体会加数与和之间的变化关系。这不是只有标准答案的口算题卡，是独属于每一个儿童的不同的游戏体验。
数轴游戏上也可以解释加减法运算。在我们后面学习进位和退位加减法的时候，数轴和棋子就真的成为了我们进一步学习算理的工具，凑十法会被孩子们真正切切地用棋子操作出来，在数轴上跳出来。
所以面对一道进位加法算式孩子们会玩出很多种不同的计算方法。
面对退位减法，亦是如此。
当儿童的观念足够灵活的时候，在面对竖式计算时，绝对不是简单地照搬硬套，一道两位数的进位加法竖式运算小牵牛班级的小朋友竟然也可以创造出多种计算方式：“45＋29”的竖式可以这样写：把数字“45”写在上，“29”写在下面；还可以把数字“29”写在上面，“45”写在下面；还可以把个位上的两个数字互换位置，结果还是一样的，当然你也可以看成是在将两个数字的十位互换位置；马上就有人提出，咱们把个位和十位上的数字换换位置怎么样？瞧！你可能会说不行啊！计算结果不一样了。但在孩子们眼中，他们会敏锐的察觉到之所以计算结果不一样了是因为“2”在从十位变到个位上的时候从2个十变成了2个一；“9“从个位变到十位上的时候从9个一变成了9个十。
所以在传统学校看来无比神圣的竖式，在我们孩子看来其实是可以被发明创造的，它仅仅是计算过程的一种简洁记录工具而已。我们一起来看看孩子们创造的“竖式”又是什么样的呢？这些看似不完美的竖式可能就是最早的数学家所做的事情，与最后的简洁表达形式相比，最开始的这一步创造才是最有价值的，因为孩子们在面对未知领域时，丝毫没有畏惧，反而是充分调动自己的已有经验，大胆创造，之后我们才会去谈竖式的简化问题。
因为竖式是这样被创造发明出来的，所以孩子们在面对三位数乘三位数，多位数除以两位数的问题丝毫不会畏惧，可能孩子们的书写在你看来还不够简化，但这并不影响孩子们去使用竖式作为问题解决的工具。所以对核心观念的不断追问，让儿童不再是竖式的“奴隶”！
当我们不将自己的眼光聚焦在计算的最终结果，而是儿童在玩数字的过程中对数字的感觉上的时候，也就是孩子数感的培养上，孩子们就创造出惊人的数字树。一颗种子，我们可以生长出这么多枝干，而每个枝干都有它的规律：只有一个加数发生变化；两个加数同时变大；让一个加数变大，另一个加数变小；能不能想办法让和不变呢？当被减数增大的时候会怎么样；当减数减小的时候又会怎么样；如果两个数字都发生变化呢？如果一个增加一个减少呢？……其实每个枝孩子们都是在故事中创造出来的，在故事情景中每个数字树的枝都是鲜活的。
我们再将大家非常熟悉的口算题卡与孩子们的数字树作品进行对比，您是否能够感觉到两者之间的差异呢？哪种方式更能激发孩子的创造性？哪种方式更能帮助儿童理解算式中不同量之间的关系？哪种方式更能让儿童理解不同算式之间的关系？哪种方式更符合儿童的认知发展规律？
是的，如果孩子不喜欢数学，那一定是因为我们没有将孩子们喜欢的数学带给孩子。
乘法观念的建构也是在动作游戏中进行的。在摆棋子的动作操作中我们理解了乘法的运算本质。第一节课，孩子们就可以结合摆棋子的动作操作过程创造出这样的乘法算式——9×7，如果按照乘法口诀的学习顺序，孩子们怎么可能会先接触这样的算式呢？更重要的是这并不是我们老师自己为了提高难度给孩子的算式，而是孩子自己在理解了乘法是怎么回事之后自己的创造。没有学习乘法口诀的孩子也能得到运算结果，这个结果绝不是所谓的机械背诵，就是动作语言，图形语言，符号语言之间的相互转化的结果。
乘法口诀在我们看来并不是一个客观的真理一样的东西，它存在的最大价值是可以帮助儿童系统建构乘法观念，使儿童的乘法观念变得更加强大。之后孩子们会在节奏游戏，列队游戏，跳格子游戏中去感受乘法的魅力，而乘法口诀仅仅是游戏过程孩子的伴奏而已。
在整个游戏中孩子们会有很多很多新的发现。“5”的奇数倍结果的个位数字都是“5”，“5”的偶数倍结果的各位数字都是“0”。在学到“9”的乘法口诀时，小牵牛们发现：与“9”有关的乘法运算的结果实在是太好玩了，每次个位上的数字都在减少一个“1”，而十位上的数字每次都在增加1个十。在孩子们看来＋9的过程其实就是在+10－1，而＋8的过程就是在＋10－2，＋7的过程就是＋10－3……如果发现了这一点，再去看乘法运算的结果，哇！“8”的乘法运算结果的个位数字果真每次都会减少“2”，十位上的数字每次都会增加一个十，“7”的乘法运算，“6”的乘法运算果真也是如此。这真的算得上我们小牵牛教室的重大发现了，孩子们说快做成作品，向世界宣告我们的主权吧！
彩色矩阵图，乘法王国，最后的章鱼图的制作，我们其实就是在做一件事情，请孩子们在数学的王国中去无限创造吧！创造能给人带来幸福感，还有哪个学科能像数学这样让孩子们可以有无限的广阔空间去尽情创造。
如果我们坚持对儿童运算本质含义地不断建构，你就会看到种子生长的力量。同样是数字树，二年级到三年级孩子们真的在成长，是数学观念本身的成长。
除法的学习历程亦是如此，对除法运算本质含义的理解一定是在动作操作的过程中，结合矩阵图孩子们就可以很好地理解平均分和包含除含义。
我们再用除法的平均分和包含除含义来解释自己的动作操作过程，而在这个过程中，除法并不是孤立存在的，乘法、加法、减法也会一并带入，加减乘除是作为一个整体存在于儿童脑海中的。
游戏的过程就是儿童建构数学观念的过程，数学是有道理可讲的，对于低段儿童我们只能在游戏中带着儿童不断地去探索，去创造。
三、玩好了，成绩也能好吗？
其实家长朋友最关心的是如此丰富的数学课程，孩子们能考一个好成绩吗？贞元的教育真的能应试吗？如果您认真地读了以上的所有文字，我相信您已经有了深刻的感受，贞元的数学课程是牢牢抓住儿童的核心观念的建构，时刻关注儿童的数学创造能力和挑战欲望的培养，而非机械操练。我们在努力打破当下应试教育与素质教育的二元对立，让儿童的生命活泼泼地进行绽放。低段课程穿越之后的儿童，脑海中已有的关于自然数的诞生、比大小、四则运算等问题的合理建构，会为儿童之后更加复杂的数学问题的探讨打下坚实的基础。我们在为孩子埋下一棵可以生长的种子。我们的眼观不再当下，而在将来。
所以贞元的孩子在数学学科上会越学越轻松，越学越灵活，我们绝对不是简单的带孩子玩玩游戏，这所有的游戏背后都在仅仅围绕着儿童数学学科素养的培养。所以请在动作游戏中让儿童充分理解运算的本质含义，而不是为了眼前的分数让孩子们不断机械训练；请重视对儿童数感的培养，而不是成为标准答案的奴隶；请不要用对待小动物的方式去训练我们自己的孩子，让我们的孩子像数学家一样站立在这颗星球上。