数据结构之最小堆

最小堆可以看作是一种优先级队列的实现,有些应用场景需要从队列中获取最小的或者最大的元素,而且不要求数据全部有序,使用最小堆或者最大堆能很好的解决这类问题。

最小堆的元素是按完全二叉树的顺序存储方式存放在一维数组中。
数据结构之最小堆_第1张图片

蓝色数字代表节点元素在数组中的索引位置

如上图所示,最小堆的根节点对应数组的第一个元素,后面接着依次从上到下每一层树节点从左往右排列,按照这个顺序将一段线性内存结构映射为一个树结构,并且满足下面的几个性质:

用i代表数组下标,n表示数组大小

  • 当i为0时,表示树的根节点,没有父节点;
  • 节点i对应的左子节点为2i + 1,右子节点为2i + 2,父节点为(i - 1) / 2;
  • 当2i + 1 > n - 1时,则节点i无左子节点;
  • 当2i + 2 > n - 1时,则节点i无右子节点;

数组作为二叉树的存储方式,可以快速的定位父节点和左右子节点,也更加节省内存。

如下给出一组数据,并展示如何将这组数据转换成一个最小堆。
数据结构之最小堆_第2张图片
最小堆的转换从最后一个非叶子节点开始,逐个将每个子树转换成一个最小堆,直到根节点也转换完成,则整棵树变成了一个最小堆。

首先找出最后一个非叶子节点,此节点必然是最后一个节点的父节点。

最后一个节点为n - 1,它的父节点为((n-1)-1) / 2,即:(n - 2)/ 2,对于上面的例子,则为节点3。

从节点3开始将节点3为根节点的子树转换成一个最小堆,依次处理2,1,0节点;

下面为转换过程:

节点3转换

数据结构之最小堆_第3张图片
节点3只有一个左子节点,节点3小于节点7,节点3所在的子树是一个最小堆,不需要转换。

节点2转换

数据结构之最小堆_第4张图片

节点2有左右两个子节点,节点5小于节点6,让节点2和节点5比较,由于节点2大于节点5,交换两个节点元素,得到的以节点2为根节点的子树成为一个最小堆。

节点1转换

数据结构之最小堆_第5张图片
节点1存在左右节点,其中节点4小于节点3,所以,节点1和节点4比较,由于节点1大于节点4,交换节点1和节点4元素。

节点0转换数据结构之最小堆_第6张图片

节点0存在左右节点,其中右节点小于左节点,所以节点0和右节点比较,由于节点0大于节点2,所以交换两个节点的元素,交换之后,节点2所在的子树需要再做比较判断,节点5小于节点6,所以节点2和节点5比较,由于节点2大于节点5,交换节点2和节点5元素,至此,整个转换结束,最终得到一个最小堆。

代码实现:

int heap[] = {24, 22, 17, 23, 5, 4, 67, 68};
int n = sizeof(heap) / sizeof(int);
int lastIndex = n - 1;
int starIndex = (n - 2) / 2;
for(int i = starIndex; i >= 0; --i){	// 循环进行将每个子树都转换成一个最小堆
    int root = i; 						// 子树根节点
    int temp = heap[i];
    int j = 2 * root + 1;				// 左子节点
    while(j <= lastIndex){
        if(j < lastIndex && heap[j] > heap[j  + 1]) j++;	// 找到左右节点中较小的一个节点位置
        if(temp <= heap[j]) break; 		// 如果根节点值小于左右子节点,则退出比较循环
        else{
            heap[root] = heap[j]; 		// 小的值上移
            root = j;					// 将下面的节点作为一个根节点继续比较
            j = 2 * root + 1;			// 重新计算左子节点位置
        }
    }
    heap[root] = temp;
}  ```

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