【动态规划】1143. 最长公共子序列、1035. 不相交的线、53. 最大子数组和

提示：努力生活，开心、快乐的一天

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1143. 最长公共子序列

题目链接：1143. 最长公共子序列

解题思路

1. 本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即：“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
2. 动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义：dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
• 确定递推公式：主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
  如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
  如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
• dp数组如何初始化：dp[i][0] = 0；dp[0][j] = 0
• 确定遍历顺序：从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]
  那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来
  最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

遇到的问题

1. 创建二维数组时，需要两个字符串长度+1
2. 遍历开始时，都是从字符串1开始遍历，因为dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
3. 遍历的终止条件，i和j是可以等于字符串的长度的

代码实现

动态规划

var longestCommonSubsequence = function(text1, text2) {
    let dp = new Array(text1.length+1).fill(0).map(v => new Array(text2.length+1).fill(0))
    for (let i = 1; i <= text1.length; i++){
        for (let j = 1; j <= text2.length; j++){
            if (text1[i - 1] === text2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
            }
        }
    }
    console.log(dp)
    return dp[text1.length][text2.length]
};

题目总结

本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即：“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
所以，递推公式有两种情况，两个字符串的值相等或者不想等的情况

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1035. 不相交的线

题目链接：1035. 不相交的线

解题思路

1. 直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。如下图
   其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
2. 本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！和上一题一摸一样

遇到的问题

无

代码实现

动态规划

var maxUncrossedLines = function(nums1, nums2) {
    let m = nums1.length
    let n = nums2.length
    let dp = new Array(m+1).fill(0).map(v => new Array(n+1).fill(0))
    for (let i = 1; i <= m; i++){
        for (let j = 1; j <= n; j++){
            if (nums1[i - 1] === nums2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
            }
        }
    }
    console.log(dp)
    return dp[m][n]
};

题目总结

把题分析透了，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度

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53. 最大子数组和

题目链接：53. 最大子数组和

解题思路

1. 动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义：dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
• 确定递推公式：dp[i]只有两个方向可以推出来：
  1、dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
  2、nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
  一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
• dp数组如何初始化：从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。dp[0] = nums[0]
• 确定遍历顺序：递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来
  注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]，最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

遇到的问题

1.最终返回的不是dp[nums.size() - 1]，而是dp数组中最大的值

代码实现

动态规划

var maxSubArray = function (nums) {
    let dp = new Array(nums.length).fill(0)
    dp[0] = nums[0]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++){
        dp[i] = Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])
    }
    console.log(dp)
    return Math.max(...dp)
};

题目总结

该题还有贪心算法，可以根据贪心解出该题
这道题最终返回结果会与原本想的不一样，但需要写该题的全程，牢记dp[i]的含义

今日心得

最近的动规的题，前后都有比较深的联系，能举一反三的进行